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記事No.73046に関するスレッドです
★ 数列・方べきの定理について / ナナヒカリ
数検準2級(高1レベル)の範囲でわからないので、二つの問題について質問します。

問題1 次の数列の一般項をnを用いた式で表しなさい。
【1/5, -(1/10), 1/15, -(1/20)】
【答え (-1)^n+1/5n】

【問題1の質問】
分母は等差数列の公式に代入すれば、5nになるのでわかります。
しかし分子の答えが納得出来ません。

分子の 等比r = -1 初項a = 1であるから、
等比数列の公式 【an = ar^n-1】
an = 1×(-1)^n-1
×1は省略できるので、
an = (-1)^n-1

という計算結果にたどり着いたのですが、実際の答えは(-1)^n+1になっております。

もちろん答えを見て、実際に代入していけば、(-1)^n+1が正しいという事はわかるのですが、等比数列の公式に代入して、その通りにならないのが何故なのかわかりません。

【問題2】
右図の円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線ACとBDの交点をPとする。
AP=6, PC=4, BP:PD=4:3であるとき、BDの長さを求めなさい。
【答え 7√2】
【答えの解説】
PB=4x, PD=3xとおくと、方べきの定理により、PA×PC=PB×PDだから、6×4 = 4x×3x, x^2 = 2
x > 0より x = √2
よって、BD=(4 + 3)x = 7√2

【問題2の質問】
そもそも方べきの定理によりPA×PC = 24とわかっているのだから、BDの長さも24だと思うのですが、それだとダメなのでしょうか？
No.73046 - 2021/02/23(Tue) 21:31:12
☆ Re: 数列・方べきの定理について / IT
問題1

(-1)^2= 1 ですから任意の整数nについて (-1)^(n-1)=(-1)^(n+1)なので
どちらでも良いと思いますが。
No.73047 - 2021/02/23(Tue) 21:48:00
☆ Re: 数列・方べきの定理について / ナナヒカリ
返信ありがとうございます！
本当ですね。凡ミスでした。m(__)m
No.73048 - 2021/02/23(Tue) 21:55:38
☆ Re: 数列・方べきの定理について / ヨッシー
問題２
　ＢＤ＝ＰＢ＋ＰＤ
であって、
　ＰＢ×ＰＤ
とは違います。
No.73049 - 2021/02/23(Tue) 22:18:16
☆ Re: 数列・方べきの定理について / 関数電卓
問題１
a^0 が定義できるのは a＞0 の場合。
(−1)^(n−1) とすると n＝1 で (−1)^0 となるので，まずいのでは？

この問題は＜数検準２級＞で実際に出題された問題ですか？
実は，この４項だけでは一般項は確定できないのですが…
No.73050 - 2021/02/23(Tue) 22:24:13
☆ Re: 数列・方べきの定理について / ナナヒカリ
ヨッシーさん返信ありがとうございます！

勝手に対角線同士の長さが等しいものだと勘違いしていましたが、PA×PB = PC×PD というだけであって、辺の長さが同じであるとは限らないという事ですね...

言われてみれば確かにそうですね。m(__)m
勘違いして理解していました^^;
No.73051 - 2021/02/23(Tue) 22:36:46
☆ Re: 数列・方べきの定理について / ナナヒカリ
関数電卓さん返信ありがとうございます！

> a^0 が定義できるのは a＞0 の場合。
(−1)^(n−1) とすると n＝1 で (−1)^0 となるので，まずいのでは？

そうなんですか？0乗は全て1になるものだと理解してました。

>この問題は＜数研準２級＞で実際に出題された問題ですか？
実は，この４項だけでは一般項は確定できないのですが…

実際に出題されたかどうかは不明ですが、受かる！数学検定準2級という数検監修の参考書の問題になります。

またもう一度見直しても、やはりその4項しか表記されていませんでした。

等差や等比の公式だけでは解けないという事なのでしょうか？
No.73052 - 2021/02/23(Tue) 22:44:38
☆ Re: 数列・方べきの定理について / 関数電卓
> 一般項は確定できない
はい。１項〜４項が，
　1/5, -(1/10), 1/15, -(1/20)
である数列 {a[n]} の一般項 a[n] は
　a[n]＝(−1)^(n＋1)/5n＋(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)f(n),　 (f(n) は任意の関数)
なのです。
> 数検監修の参考書の問題
ならば，まあありそうな話ですが，＜数検準２級＞の実際の問題だとすると，あまりにも 雑な出題 なので。
No.73053 - 2021/02/23(Tue) 23:03:28