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記事No.73125に関するスレッドです
★ (No Subject) / あ
この⑵ l、 mが平行なのでベクトルPQとベクトルSRの大きさがひとしいことを示せば良いと思い楕円が原点かつX軸Ｙ軸に対称なのでl、mが楕円から切り取る弦の長さが等しくなるには|b|=|c|として　b>cから　b>0>かつb+c=0としたのですが　平行と対称性から切り取る弦の長さが等しくなるにはLMのY切片の絶対値が等しいとして問題ありますから
No.73124 - 2021/03/01(Mon) 12:38:05
☆ Re: / あ
これが問題です
No.73125 - 2021/03/01(Mon) 12:38:45
☆ Re: / IT
> 平行と対称性から切り取る弦の長さが等しくなるにはLMのY切片の絶対値が等しいとして問題ありますから

は、

「平行と対称性から切り取る弦の長さが等しくなるにはLMのY切片の絶対値が等しいとして問題ありますか？」

ですか？

私は、説明不足のような気がしますが、いかがでしょうか？
No.73129 - 2021/03/01(Mon) 23:46:01
☆ Re: / 関数電卓
私も「説明不足」だと思います。「そのことをキチンと示して下さい」が出題意図なのでしょう。

ところで…
通常，小問(1)(2)は最終的な出題意図(3)へのヒント誘導の場合が多いのですが，本問の場合はどうなのでしょう？
私は，(1)(2)は(3)へのうまい誘導にはなっていない，というより，ほとんど役に立たないのではないかと思うのですが，如何でしょうか？
No.73131 - 2021/03/02(Tue) 00:06:35
☆ Re: / あ
問題ありますから→問題ありますか？ですすみません
やっぱり説明不足ですか、、、、
そうですね。これ東工大の今年の問題なんですが⑵は使わずにやってしまいましたあってるか分かりませんが。。。
No.73132 - 2021/03/02(Tue) 05:25:31
☆ Re: / IT
> やっぱり説明不足ですか、、、、
Eが円の場合は、そのことを図形的に簡単に示せると思いますが、一般の楕円の場合は自明ではない気がします。

私は、ご質問を受けて
xについての2次方程式x^2/4+(ax+b)^2=1 の解をα、βとして
（α-β）^2=(4a^2-b^2+1)/(a^2+1/4)^2 （検算はしていません）を使いました。

β≧αとしてβーαを解の公式で直接計算してもいいですね。
No.73133 - 2021/03/02(Tue) 07:28:46
☆ Re: / IT
(3)を解いてはないですが 正方形は平行四辺形の特別なものなので(2) の条件が使えるのでは？
No.73134 - 2021/03/02(Tue) 18:34:41
☆ Re: / 関数電卓
※個人の感想 ではありますが…

例えば こちら にあるようなマニアックな解答を，どれほどの受験生が書けるのでしょうか？！？
本問(3)の私の解答は以下です。
＝＝＝
楕円
　x^2/4＋y^2＝1 …(1)
上にある４点を順に P,Q,R,S とする。この４点が正方形の４頂点となるとき，(回転)対称性より，P(x,y) を『原点』中心に π/2 回転させた点 (−y,x) (or (y,−x)) も楕円(1)上にある。
すなわち，P は楕円
　x^2＋y^2/4＝1 …(2)
上にもなくてはならない。
よって，４点は２つの楕円(1)(2)の交点である。（座標を求める）
＝＝＝
ただ，「対称性より『原点』中心」と決めつけてしまって良いか，は異論があるところかもしれません。
No.73135 - 2021/03/02(Tue) 19:44:59
☆ Re: / IT
（３）略解
楕円上の４点の組を頂点とする四角形が正方形であるとき
４点を左上から時計回りにPQRS ,（PQはｙ軸に平行でない）とする。
PQ↑//SR↑,|PQ↑|=|SR↑| ＝｜PS↑｜≠0、PQ↑⊥PS↑（したがってPQ↑･PS↑=0）が必要十分条件　

直線PQをL、直線SRをMとする。

PQ↑//SR↑,|PQ↑|=|SR↑| なので(2)から

Lの方程式：y=ax+b, Mの方程式：y=ax-b (b＞0）とおける。

（解の公式でx成分、直線の方程式でｙ成分を求めると）
PQ↑＝(2√(a^2-b^2/4+1/4)/(a^2+1/4),2a√(a^2-b^2/4+1/4)/(a^2+1/4))
PS↑＝(2ab/(a^2+1/4),-(b/2)/(a^2+1/4))

PQ↑･PS↑=0から4ab-ab=0 ∴　a=0

このとき　PQ↑=(4√(1-b^2),0),PS↑＝(0,-2b)
　｜PQ↑|＝｜PS↑｜より b=2/√5

考慮漏れがあるかも知れません。
No.73136 - 2021/03/02(Tue) 19:59:49