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記事No.73208に関するスレッドです
★ 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / 浪人生
「x,yは実数で、2x^2+3xy+2y^2<=7のとき、aを定数としてz=(x+a)(y+a)の最小値を求めよ。」という問題です。x+y=p,xy=qとして、x,yが実数であることより、tの2次方程式t^2-pt+q=0の判別式が0以上より、q<=p^2/4(-?@)、問の条件よりq>=2p^2-7(-?A)、z=(x+a)(y+a)=q+ap+a^2より、q=-ap+z-a^2(-?B)となりました。
?@かつ?Aを満たす領域をpq平面に図示して、直線?Bと共有点を持つ条件を考えて、zの最小値を求めようとしています。その時に、直線?Bは傾き-aが負の様々な値に変わり、最小値を考える際に二つある二次関数のどちらとも接する場合が考えられ、場合分けが多く必要となり、混乱してしまいました。この方法では厳しいのでしょうか? 場合分けの方針を教えていただけると助かります。回答よろしくお願いします。
No.73202 - 2021/03/06(Sat) 04:22:02
☆ Re: 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / IT
ざっと考えただけです。

2x^2+3xy+2y^2＝7は楕円で
z=(x+a)(y+a)はxy平面上で双曲線になりますね。

直感的にはｚが最小となるのは、範囲の境界2x^2+3xy+2y^2＝7のどこかですね。
（ここがポイント？　図を描いて説明するのでしょうか？）

x=y に関して対称なので考える範囲を狭められますね。

x=-a,y=-a が双曲線の漸近線なので　-a 　の値によって
zが負になれるかどうかが決まるので　その場合分けがありそうです。
No.73203 - 2021/03/06(Sat) 08:09:30
☆ Re: 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / IT
2s=x+y,2t=x-y とおくと　x=s+t,y=s-t なので

2x^2+3xy+2y^2=7 は、7s^2+t^2=7 ∴ t^2=7-7s^2,|s|≦1
z=(x+a)(y+a)=s^2-t^2+2as+a^2
=8s^2+2as+a^2-7
=8(s+a/8)^2+(7/8)a^2-7、ただし|s|≦1

で求めればどうでしょう。（途中計算は確認してください）
a＝±8を境に場合分けが必要です。
No.73205 - 2021/03/06(Sat) 10:56:45
☆ Re: 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / IT
質問者の方針で
　q＝2p^2-7(-?A)として代入計算すれば出来ますね。
No.73206 - 2021/03/06(Sat) 11:42:37
☆ Re: 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / 浪人生
回答ありがとうございます。
様々な方針を知れて、勉強になりました!
自分の方針があまりよくないことにも気づけました。
この方針で解けるかが少し気になってしまったため、
重ねて申し訳ないのですが、もし、?@かつ?A:Dと直線?Bが共有点を持つ条件を考えると、場合分けはどのように考えたらいいでしょうか?　
No.73208 - 2021/03/06(Sat) 14:37:50
☆ Re: 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / IT
ｙ軸対称なので-ａ≧0　の場合を考える
q=2p^2-7 の接線の傾きは，範囲内では点(2,1) における=8が最大なので

0≦-ａ≦8 のときと　-ａ＞8　のときに分ける。
No.73209 - 2021/03/06(Sat) 16:12:44
☆ Re: 最小値を求める問題(存在条件、逆像法) / 浪人生
ありがとうございます!
とても助かりました!
No.73210 - 2021/03/06(Sat) 16:34:14