[ 掲示板に戻る ]
記事No.73303に関するスレッドです
★ 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / みみ
座標上に中心(0,0)の半径wの円があります。
その中の角度p(0<p<π)の扇の中の任意の点から中心への平均距離を積分を使って求める方法を教えて頂けますでしょうか。
宜しくお願い申し上げます。
No.73288 - 2021/03/13(Sat) 13:43:00
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / らすかる
(∫[0〜w]r・pr dr)/(pw^2/2)
=([pr^3/3][0〜w])/(pw^2/2)
=(pw^3/3)/(pw^2/2)
=(2/3)w
で良いかと思います。
No.73293 - 2021/03/13(Sat) 14:50:41
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / 関数電卓
図です。
No.73296 - 2021/03/13(Sat) 15:15:40
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / みみ
ありがとうございます。
どうして半径wの弧の上の任意の点と中心の平均距離は、線分上の一点を固定した任意の線分上の点yとの平均距離と解がが異なるのでしょうか。
宜しくお願い申し上げます。
No.73300 - 2021/03/13(Sat) 17:43:56
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / みみ
また申し訳ございません。どうして面積を積分するかが分かりませんでした。すみませんが宜しくお願い申し上げます。
No.73301 - 2021/03/13(Sat) 18:01:30
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / 関数電卓
求めるものは
　角度p(0<p<π)の 扇の中の 任意の点から中心への平均距離 …(1)
であって，
　半径 w の 弧の上の 任意の点と中心の平均距離 …(2)
ではありませんね？

(1)は，扇形内のさまざまな点から中心までの平均距離であり
(2)は，弧上の点から中心までの距離であり，平均するまでもなくつねに w です。

(1)は，下図のような「鶴の嘴形」O-ABCD の体積と等しい体積をもつ「ショートケーキ」OAB-EFG の高さを求めることに相当し，(2/3)w となります。
No.73303 - 2021/03/13(Sat) 20:13:22
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / みみ
ありがとうございます。
定積分をするr*p*rの由来を教えてくださると幸いです。
宜しくお願い致します。
No.73321 - 2021/03/14(Sun) 09:16:43
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / らすかる
最初のrは中心までの距離、後のprはその距離である弧の長さです。
No.73322 - 2021/03/14(Sun) 09:23:28
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / みみ
ありがとうございます。
それはどのような定理や理論に基づくものでしょうか。

同じ直線の場合でも、
定まったwの長さの線分ですと端に固定された点と任意の点との平均距離はw/2で
半径wの円の中心に固定された点と扇の中の任意の点ですと2*w/3
になるのはどうしてだろうと感じました。

宜しくお願い申し上げます。
No.73326 - 2021/03/14(Sun) 09:55:44
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / らすかる
扇形は「遠い方が点が多い」のでw/2より大きくなるのは直感的にわかりますよね？
離散的な考え方と対比するとわかりやすいかと思います。
例えば半径が整数の同心円を描いて
それぞれの同心円に弧の長さ2πおきに点を打つと
半径1の円上には点が1個
半径2の円上には点が2個
半径3の円上には点が3個
・・・
となりますね。
これで半径nまでの点の平均距離を計算すると
(1×1+2×2+3×3+…+n×n)÷(1+2+3+…+n)=(2n+1)/3
となります。nが大きくなれば(2/3)nに近づきますので、
連続的な場合の結果と一致しますね。
計算は、離散的な場合の
Σ{(距離)×(個数)}÷(総個数)
が
∫(距離)×(弧の長さ)dr÷(面積)
に変わるということです。
No.73328 - 2021/03/14(Sun) 10:09:50
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / GandB
　らすかるさん。
　うまい説明ですねえ！

　>どうして面積を積分するかが分かりませんでした。

とあったので、いろいろ考えたのですけど、結局重積分を使った解法しか思いつきませんでした。
　任意の各点から原点までの距離を足し合わせる式は、直感的には直交座標を使った方がわかりやすいと思うので、それを変数変換して極座標で解くという、まあ平凡な方法（笑）。
No.73329 - 2021/03/14(Sun) 10:37:45
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / みみ
大変分かりやすく教えて下さりありがとうございました。
助かりました。勉強させて頂きます。
No.73330 - 2021/03/14(Sun) 11:01:20
☆ Re: 扇の中の任意の点から中心の平均距離について / 関数電卓
ややしつこいですが…
離散量であれ連続量であれ
「平均」とは，変化のある量を『平らに均す』ことで，
そのことをきちんと把握されれば，式の立て方は自ずと見えてきます。
No.73333 - 2021/03/14(Sun) 13:12:13