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記事No.7335に関するスレッドです
★ グラフ / aki
こんばんは。
続けて失礼します(>_<)
お願いします。

http://r.upup.be/?8AFwzGeBjy
の(1)はできました。
(2)ですが、まずg'(x)を計算してその後どうすればいいかわからなくなってしまいました。
ヒントで(1)の式を分離するとあったので
http://q.upup.be/?hvBOWZx5yL
までできましたが、この分離したことで何ができるのか、何がやりたいのかがわからなくて止まってしまいました。
さっぱりわからないので、易しく教えて下さると有り難いです。
宜しくお願いします。
No.7316 - 2009/08/07(Fri) 23:23:17
☆ Re: グラフ / KINO
g ' (x) の符号変化を調べ，y=g(x) のグラフの概形を知るのが目的です。まさにそのために導関数を求めたのではないですか・・？？？
3b/2-f(x) が常に負ならば g(x) は単調に減少します。
3b/2 が f(x) の最小値より大きければ，g(x) は減少から増加に転じ，また減少するといった変化があります。
No.7322 - 2009/08/08(Sat) 10:38:28
☆ Re: グラフ / aki
確かにそうなのですが…

解答が
http://y.upup.be/?OELNPzaTMD
このようになっていて、なぜこの式変形から簡単にグラフの形が特定できたのかがわかりません。
すみませんが易しく教えて下さると有り難いです。
宜しくお願いします。
No.7326 - 2009/08/08(Sat) 20:13:27
☆ Re: グラフ / ヨッシー
グラフは、y=3b/2(ｘ軸に平行)と、y=f(x) を別々に書いています。
(1) の増減表というのは、x=4a で極小になると言うこと。
ｘ→a+0 で ∞ は、ｘ＝ａが漸近線であること
ｘ→∞　で ∞ は、ｘの大きい方向には、漸近線のようなものはなく
ずっと増えると言うこと
を表しています。

以上のことから、3b/2 が、f(x) の極小値よりも大きければ
KINO さんの書かれたような g(x) の増減になると言うことです。
No.7333 - 2009/08/08(Sat) 21:34:34
☆ Re: グラフ / angel
微分を勉強していれば、「増減を調べてグラフの概形を描く」という問題は経験があると思います。
ただ、今回は、a,bの条件次第で、g'(x) の推移が変わるため、y=g(x) のグラフの形が確定しません。
であれば、自分でパターンを分析して、それぞれでグラフの概形を調べてしまうのです。
パターンとしては、g'(x) の値が正か負か0かのレベルで考えればよいので、今回は3パターンです。
a,bに関わらず分かることは、lim[x→a+0]g(x)=+∞ と、lim[x→+∞]g(x)=0 ですね。添付の図の増減表では網掛けしています。
※lim[x→a+0]g'(x) と、lim[x→+∞]g'(x) も分かるのですが、使わないので表中では×にしています。
※増減表で a+0 や +∞ とあるのは、(片側)極限を表しています。

ということで、添付の図をご参照ください。
※なお、グラフの凹凸についてはどうなるか分かりません。図中のグラフはあくまで増減に絞って描いているので、凹凸が正しくない可能性もあることに注意してください。
※パターン3で、極大値がプラスになることは確定していますが、極小値の正負は分かりません。ただ、どちらであっても今回の問題を解く上では影響がないため、詳しく調査はしていません。
No.7335 - 2009/08/09(Sun) 00:28:33
☆ Re: グラフ / aki
わかりました、g'(x)の増減を考えるために3パターン考えられる
と考えればよかったのですね。
そこまでは分かったのですが、
angelさんの図の右にある二次曲線はどっから形が考えられたのでしょうか。
また、g'(x)≦0とまとめて2パターンにしてもよいのでしょうか？微分係数が瞬間的に0というのが増減表にできるのがわからないので…

また、ヨッシーさんのようにf(x)とy=3b/2の関係を図にして続きを考えて、
y=3b/2≦f(x)の最小値
のときは、常に単調減少のためg(x)<0の曲線を描き三点で交わることはない

y=3b/2>f(x)のときは二点交わるためにg(x)の増減を書くと極大値極小値が存在し、三点交わる直接がある

という答えでは○もらえますでしょうか？

宜しくお願いします(>_<)
No.7376 - 2009/08/10(Mon) 17:58:39
☆ Re: グラフ / angel
先にお断りを。
少し厳しいコメントになりますが、私が上に載せた図、というのは解答に載せるべきものではなく、頭の中で描いておく ( もしくは計算用紙にメモしておく ) いわば「前提知識」です。
※KINOさんや、ヨッシーさんのコメントも、akiさんがご覧になった模範解答も、この図が分かっているという前提で書かれているものです。改めて読み返してみると、そのことが分かると思います。

…という前置きを基に。

＞ 図の右にある二次曲線はどっから形が考えられたのでしょうか。

これは、増減表を素直にグラフに反映したものです。なお、二次曲線ではありません。
今回の問題では解答に描く必要がありません ( むしろ描いてはいけません ) が、グラフの描画を求められる問題は必ずありますから、できるようになっておく必要があります。不安があるなら、そういった問題を練習することをお勧めします。
※上のコメントで注釈を入れている通り、グラフの凹凸や、極小値の具体的な大きさについては情報がありませんので、完全なグラフは描けません ( なので解答に描いてはいけません ) が、概形をイメージするには十分なはずです。

＞ また、g'(x)≦0とまとめて2パターンにしてもよいのでしょうか？

今回の問題ではOKです。( 前のコメントはあくまで「前提」部分であって、直接解答に書くものではないため… )
ただし、一般的な話として、「一瞬だけ微分係数が0」という状況は理解しておくべきです。
微分係数の正負が切り替わる場合は、極小値 ( いわばグラフの谷底 )、極大値 ( いわばグラフの山頂 ) が現れますが、一瞬だけ0になる場合は停留値となります。
ちょうど、y=x^3 の原点部分のように、階段の踊り場のようなグラフ形状となります。
※あー、でも「停留値」という言葉そのものは習わないかも。
No.7392 - 2009/08/10(Mon) 22:43:55
☆ Re: グラフ / angel
＞ …(前略)…という答えでは○もらえますでしょうか？

ニュアンス的にはほぼOKなのですが。
一つには、なるべくツッコミ所の少ない表現にするよう心掛けること ( 抽象的な表現を避けること、また、グラフ上の位置関係だけでなく、関数や微分係数の具体的な条件にふれること ) と、もう一つは、極大・極小が出てくる時の説明を端折るのがちょっと不安、というところがあります。

＞ 常に単調減少のためg(x)<0の曲線を描き三点で交わることはない
これであれば、
・g(x)はx＞aの範囲で(常に)単調減少のため、曲線y=g(x)とx軸に平行な直線のx＞aの領域での交点は高々(多くとも)1個であり、題意を満たさない

といった感じ。
「曲線を描き」という表現が曖昧すぎるのでカットして別の言い回しに替えるのと、「3点で交わることはない」という単なる否定ではなく、「〜であり(のため)、題意を満たさない」という具体的な表現にするのがポイント ( 「題意」って便利な言葉です )

＞ 二点交わるためにg(x)の増減を書くと極大値極小値が存在し、三点交わる直接がある

これはせめて、
・g'(x)がx＞aの範囲で、xの増加につれ負→正→負と変化するため、g(x)には極大値と極小値がそれぞれ1個ずつ存在し、曲線y=g(x)とx＞aの領域で3点で交わる、x軸に平行な直線が存在する

でしょうね。g'(x)の正負と、極大値・極小値の個数に触れないと説得力が薄いです。
で、時間がなければこの表現でいきますが、「何で3点で交わる直線があるの?」というツッコミを受ける可能性はあるので、やや不安ではあります。
安全確実をめざすなら、私が載せた図のパターン3の増減表(除く、グラフ)を書いて、
　y＞(g(x)の極小値) かつ y＞0 かつ y＜(g(x)の極大値) の領域にあり、x軸に平行な直線は、曲線y=g(x)と3点で交わる。
　よって、3点で交わるx軸に平行な直線が存在するため、題意を満たす
のようにするかな、というところです。
※とはいえ、具体的に書きすぎてミスしたらかえって損なので、割とその時の気分次第です。
No.7396 - 2009/08/10(Mon) 23:18:57
☆ Re: グラフ / aki
ありがとうございます。
それは解答の記述ではないのですね、納得しました。

どうもありがとうございました。
No.7472 - 2009/08/15(Sat) 15:51:35