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記事No.73384に関するスレッドです
★ 微分について / あああああ
微分についての質問です。
まず画像の数値の意味を説明します。
g(0) = 0,g(1/2) = 1/2,g(1) = 1 左グラフで通りたい点
g'(0) = 0, g'(1) = 0はその地点の傾きg'(1) = 0なら1の時傾きが0という条件。この5つの条件からa,b,c,d,eが導けるみたいなのですが、まったくもって理解できないです。

?@上のg(x) = の式と g'(x) = の式の連立方程式を使うみたいですが、どこにどの数値を代入したのかがわからない
?Aなぜ4次関数を使い微分をしているのかがわからない(abcdeについて求めたいはずなのにどうして微分する必要があるのか)

以上2点もしわかる方いたら教えていただけたらと思います。
よろしくお願いします。

No.73384 - 2021/03/18(Thu) 00:30:49
☆ Re: 微分について / らすかる
> ?Aなぜ4次関数を使い

n個の条件があるとき、通常はn-1次以下の関数で表せるからです。
この質問では条件が5個ですから、4次あれば十分です。

> 微分をしているのかがわからない(abcdeについて求めたいはずなのにどうして微分する必要があるのか)

「g'(0)=0」は「g(x)の式を微分してxに0を代入したら0になる」という意味ですから、
この条件を使うためには微分するしかありません。

> ?@上のg(x) = の式と g'(x) = の式の連立方程式を使うみたいですが、どこにどの数値を代入したのかがわからない

g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e でxに0を代入すれば
g(0)=a・0^4+b・0^3+c・0^2+d・0+e=e
条件からg(0)=0なのでe=0 … (1)

g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e でxに1/2を代入すれば
g(1/2)=a・(1/2)^4+b・(1/2)^3+c・(1/2)^2+d・(1/2)+e=a/16+b/8+c/4+d/2+e
条件からg(1/2)=1/2なのでa/16+b/8+c/4+d/2+e=1/2 … (2)

g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e でxに1を代入すれば
g(1)=a・1^4+b・1^3+c・1^2+d・1+e=a+b+c+d+e
条件からg(1)=1なのでa+b+c+d+e=1 … (3)

g'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d でxに0を代入すれば
g'(0)=4a・0^3+3b・0^2+2c・0+d=d
条件からg'(0)=0なのでd=0 … (4)

g'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d でxに1を代入すれば
g'(1)=4a・1^3+3b・1^2+2c・1+d=4a+3b+2c+d
条件からg'(1)=0なので4a+3b+2c+d=0 … (5)

(1)と(4)からd=e=0なので
(2)の両辺を16倍してd=e=0を代入すると
a+2b+4c=8 … (6)
(3),(5)にそれぞれd=e=0を代入すると
a+b+c=1 … (7)
4a+3b+2c=0 … (8)
(7)×4-(6)から3a+2b=-4 … (9)
(8)-(7)×2から2a+b=-2 … (10)
(10)×2-(9)からa=0 … (11)
(11)を(10)に代入してb=-2 … (12)
(11)と(12)を(7)に代入してc=3
従って(a,b,c,d,e)=(0,-2,3,0,0)
No.73385 - 2021/03/18(Thu) 06:19:47
☆ Re: 微分について / あああああ
返信丁寧に1から説明していただきありがとうございます。

n個の条件があるとき、通常はn-1次以下の関数で表せるからです。
この質問では条件が5個ですから、4次あれば十分です。
↑これは数学のどの分野でのことでしょうか？
これがわかると数学的にかなりパワーアップできそうなので、もしよろしければ教えていただきたいです！
No.73388 - 2021/03/18(Thu) 21:24:20
☆ Re: 微分について / らすかる
私は数学の問題を解くのに「分野」とか考えませんし教育者でもありませんので、
残念ながら「分野」はわかりません。

# それよりも、なぜ「分野」がわかるとパワーアップできるのかが私にはわかりません。
No.73401 - 2021/03/20(Sat) 00:52:09
☆ Re: 微分について / あああああ
自分の返し方が悪かったですね

n個の条件があるとき、通常はn-1次以下の関数で表せるからです。
この質問では条件が5個ですから、4次あれば十分です。
↑はどこで調べた情報なのか、どうやってその思考が導き出されたのかということを知りたかったことです。
No.73405 - 2021/03/20(Sat) 22:18:55
☆ Re: 微分について / らすかる
変数がn個ある場合、特殊な場合を除いて
条件がn個あれば全ての変数の値が確定します。
条件がn個未満だと確定しません。
例えば変数がx,y,zの方程式があってx,y,zを
確定するためには、方程式が3個必要です。
4次関数はy=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eのように変数
（この場合a,b,c,d,eを変数と考えています）の
数が5個ですから、独立な条件が5個あれば
値が確定します。
この考え方をどの時点でどういう経緯で覚えたかは
遠い昔のことで記憶にありません。
No.73407 - 2021/03/21(Sun) 00:25:59
☆ Re: 微分について / あああああ
a,b,c,d,eの方程式を解くというのは理解しているのですが、
なぜそこに4次関数がくっつくのかがわからないです。

y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eはよくて
y = a + b + c + d + eではダメな理由と聞いたほうが正しいでしょうか
No.73432 - 2021/03/22(Mon) 12:30:22
☆ Re: 微分について / らすかる
y=a+b+c+d+eは定数関数ですから
g(x)=a+b+c+d+eとすると
g(0)=a+b+c+d+e, g(1)=a+b+c+d+eとなり
g(0)=0かつg(1)=1となるのは不可能です。
g(x)が「多項式関数」という条件があるならば、
5つの条件を同時に満たすためには4次関数にしなければなりません。
「多項式関数」という条件がなければ解は他にいくらでもありますが、
多分「多項式関数」という条件が付いていますよね？

# 一般的に解くには最初の設定を4次関数にしなければなりませんが、
# 条件の独立性によっては結果は3次以下の関数になる可能性があります。
# 実際、この問題の答えは3次関数になっています。
No.73437 - 2021/03/22(Mon) 16:50:51
☆ Re: 微分について / あああああ
返信ありがとうございます。
勉強不足を実感しました。
とりあえず多項式周りは勉強してみます
ありがとうございました！
No.73446 - 2021/03/23(Tue) 11:41:20