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記事No.73471に関するスレッドです
★ なんだこれ / 学生s
高校物理で見せられました　よくわかりません
No.73471 - 2021/03/27(Sat) 08:03:05
☆ Re: なんだこれ / 関数電卓
まずは， こちら をご覧下さい。かなり難解ですが…
ここの中ほどに出て来る ガウス引力定数 k
　k＝0.01720209895
とは何ものか？

平面上，原点 O の周りを等速円運動する点を考えます。１回転に要する時間 (周期) を T とすると，１回転の回転角を 2π[rad](ラジアン) として 2π/T は 単位時間 あたりの回転角を表すもので「角速度」(ω) とよばれる物理量です。現在，物理学では単位時間として 秒 を用いると決められています（国際単位系 (SI)) が，何も「秒」じゃなくても １時間 でも １日 でも「単位時間」です。

ここで「地球の公転」を考えます。厳密には軌道の形は楕円ですが，これを「等速円運動」で近似します。これは十分に良い近似です。
時間の単位として「日」を採用します。地球の公転周期は，365.2422 日 ですので，この単位での公転角速度は，
　ω＝2π/T＝2×3.141592/365.2422＝0.0102027
が得られます。末位の差違は，定数の「打ち切り誤差」によるものです。
すなわち，k とは，名前こそ「引力定数」となっていますが，実は，地球の公転の１日あたりの回転角 のことでした。

ガウスは，なぜこんなものを考えたのか？
それは，上に引いたサイトに書かれているとおり，
　万有引力定数 G＝6.67430(15)×10^(−11)
の「精度の悪さ」です。
天文学（天体力学）でこの G を用いる限り，ここから導かれるさまざまな量は，すべてこの精度の悪さを引きずることになります。
そこで，G を用いず k を用いて天体力学を精度良く再構築しよう としたのが「ガウスの試み」だったのです。このことから k の名前に「引力」が冠されていることも頷けますね。

難解ですが，お分かり下さいますか？
No.73478 - 2021/03/27(Sat) 18:30:23
☆ Re: なんだこれ / 関数電卓
ところで，冒頭の
　A^3＝GMD^2/k^2 …(1)
にある A とは何ものでしょうか？

地球の，公転半径を R，公転周期を T，公転速度を v とすると，運動方程式から
　GMm/R^2＝mv^2/R＝m(2πR/T)^2/R …(2)　(m：地球の質量)
で，ここから
　R^3＝GMT^2/4π^2 …(3)
が得られます。
(3)に SI 単位での数値
　G＝6.6743×10^(−11) [Nm^2/kg^2]
　M＝1.9891×10^30 [kg]
　T＝365.2422 日＝31470729 [s(秒)]
　π＝3.14159
を入れると
　R＝1.49338598×10^11 [m]
が得られ，これが，１天文単位(AU) (太陽-地球間の平均距離）です。こちら のサイトに １[AU]＝1.4957870700×10^11 とあるのは，やはり用いた数値の打ち切り誤差によるものです。

ここから分かるように，単位時間として「年」を採用すれば単位の長さ「天文単位」が導かれます。すなわち，単位時間として「日」を採用し導いた単位の長さ A の実測値を用いて G を再決定しよう というものがガウスの目論見だったのです。

引いたサイトに書かれているとおり，これは現在の天文学では用いられていません。
ガウスが活躍した時代には，相対論は見出されていませんでしたから…。
No.73479 - 2021/03/27(Sat) 20:19:58