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記事No.73522に関するスレッドです
★ 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / みみ
前に教えて頂いた円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について質問があります。
その節は皆様に大変お世話になりましてありがとうございました。

半径wの円の中心から角度Θ(0<Θ<π)の扇の中の任意の点への平均距離ですが、
1/((π*w^2)/2)*∫[0〜w]*r*(r*π)drと教えて頂きました。

これは角度Θ(0<Θ<π)も考慮に入れて二重積分表記にすることは可能なのでしょうか。もし可能ならば方法を教えてくださると幸いです。宜しくお願い申し上げます。
No.73520 - 2021/04/01(Thu) 12:42:26
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / 関数電卓
> 半径wの円の中心から 角度Θ(0<Θ<π)の扇 の中の任意の点への平均距離
文字 θ は変数として使いたいので，前回同様，扇形の中心角を p として回答します。
また，
> … 1/((π*w^2)/2)*∫[0〜w]*r*(r*π)dr と教えて頂きました。
とありますが，この式が与える値は，中心角がπの扇形(＝半円) のものです。
求めたい「平均距離」は，中心角には依存しないので同じ値が出てきますが，式として書くときには問題があります。

求める平均距離の二重積分表記は，
　(∫[0〜p]dθ∫[0〜w]r^2dr)/(∫[0〜p]dθ∫[0〜w]rdr)
です。
No.73522 - 2021/04/01(Thu) 13:38:03
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / みみ
ありがとうございます。
∫[0〜p]dθは1の積分を意味するのでしょうか。

また分子、分母の意味が分かりませんでした。
分子は半径と弧の長さの積、分母は面積に該当すると思っていましたが…
もう一つ、この式の微小範囲や確率密度はどれでしょうが。

無知ですみませんが、宜しくお願い申し上げます。
No.73523 - 2021/04/01(Thu) 19:23:59
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / 関数電卓
> ∫[0〜p]dθは1の積分を意味するのでしょうか。
その通りです。
> 分子は半径と弧の長さの積
分子は，下図(再掲)の微小領域 rdrdθ の中にある r を，扇形全体で積分したものです。
この r を扇形に垂直方向の「高さ」とすると，「積分した」値は， こちら の中ほどに図示した「鶴の嘴形」の体積になります。

> 分母は面積
その通りです。
> この式の微小範囲や確率密度はどれでしょうが
意味不明です。微小範囲は図の通りですが，
確率密度？？
お尋ねのこの問題は，確率を求める問題の中の一断片なのですか？
No.73524 - 2021/04/01(Thu) 20:53:23
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / みみ
ありがとうございます。

この問題は円の中心からランダムに選んだ任意の1点への距離を積分で表したいということですので、1/(面積の大きさ)を確率密度と呼ぶと勘違いしていました。

すみませんが宜しくお願い申し上げます。
No.73527 - 2021/04/01(Thu) 22:25:32
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / 関数電卓
> 円の中心からランダムに選んだ任意の1点への距離を積分で表したい
「距離」は 平均距離 ですね？
それは，上に記した
　(∫[0〜p]dθ∫[0〜w]r^2dr)/(∫[0〜p]dθ∫[0〜w]rdr)
　＝(p･w^3/3)/(p･w^2/2)　←分母は扇形の面積
　＝(2/3)w
です。
No.73528 - 2021/04/01(Thu) 22:58:51
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / みみ
ありがとうございます。
因みに「扇形全体で積分する」とは何を意味するのでしょうか。

それから(∫[0〜p]dθ∫[0〜w]r^2dr)/(∫[0〜p]dθ∫[0〜w]rdr)は

∫[0〜p]∫[0〜w]r^2drdθ/∫[0〜p]∫[0〜w]rdrdθ
や
∫[0〜p]∫[0〜w](r^2/r)drdθ
と表記しても大丈夫でしょうか。
宜しくお願い申し上げます。
No.73529 - 2021/04/01(Thu) 23:05:25
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / 関数電卓
> 「扇形全体で積分する」とは何を意味するのでしょうか。
４つ上のレス No.73524 を追加修正しました。再度ご覧下さい。「体積」は，重積分のイメージを作るためのひとつの便法です。正確な取り扱いは， こちら をご覧下さい。

> ∫[0〜p]∫[0〜w]r^2drdθ/∫[0〜p]∫[0〜w]rdrdθ
これは OK ですが，
> ∫[0〜p]∫[0〜w](r^2/r)drdθ
これは，積分を全く理解していない とんでもない変形 です。
No.73530 - 2021/04/01(Thu) 23:35:57
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / みみ
ありがとうございます。

因みに分母は微小範囲の面積(=点の個数)と考え、分子は微小範囲内の点と移動距離の積の和(=中心から微小範囲にある点の総距離)で分数は平均距離を表すという解釈で大丈夫でしょうか。

宜しくお願い申し上げます。
No.73531 - 2021/04/02(Fri) 00:44:51
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / 関数電卓

> 「………は平均距離を表すという解釈…」
質問者さんがどのような脳内イメージを持っていらしゃるのかまでは，この日本語表記からは伝わって来ませんが，平均のイメージを 目に見えるもの にするならば，前回 こちら の中ほどと末尾に図示した通り，
平均とは 平らに均す ことで
・１次元ならば，元の図形と等しい面積を持ち，底辺を共有する長方形の高さ
・２次元ならば，元の図形と等しい体積を持ち，底面を共有する平らな図形の高さ
のことです。
No.73532 - 2021/04/02(Fri) 08:57:40
☆ Re: 円の中心から扇の中の任意の点への平均距離について / みみ
色々な図を描いて下さり、事細かに説明して頂きありがとうございました。
No.73533 - 2021/04/02(Fri) 23:07:20