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記事No.73765に関するスレッドです
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題は底辺分割の定理は使わないと言われました。高さが同じだから面積比と体積比は同じで4分の1になるらしいです。一般的には体積比は底辺の比の3乗ですが…
底辺分割の定理は高さが同じで、使えるのは三角錐の辺の比だけなのでしょうか。
No.73765 - 2021/04/18(Sun) 16:47:19
☆ Re: / 数学苦手
底辺分割の定理は高さが同じ三角形同士なら、それぞれの三角形の比と面積比が同じになるのは分かります。ただ、この三角錐の問題は補助線引いてそれらしいところもないし、無理ということでしょうか。
No.73766 - 2021/04/18(Sun) 17:26:20
☆ Re: / 数学苦手
三角錐AECFと三角錐ABCDはAE:ABの比が等しく、AFとFDの比が等しく、∠Aが同じで2組の角が等しくて、相似。
相似っていうのは分かりますが一般的？にはそれの3乗が体積比らしいので、特殊な問題なのかなと…
No.73767 - 2021/04/18(Sun) 17:34:33
☆ Re: / らすかる
それらの三角錐は相似ではありません。
相似なのは△ABDと△AEFです。
底面を△ABD,△AEFとすれば
底面積が1/4で高さが同じなので
(体積)=(底面積)×(高さ)÷3が1/4になるということですね。
No.73775 - 2021/04/18(Sun) 18:53:44
☆ Re: / 数学苦手
あ、そうです笑 こんがらがるといいますか混乱してました。 三角錐の相似は分からないですよね？僕は分からないです。底面積は1:2の2乗で1:4でAEFはABDの4分の1。そこからは高さの数値は分からないので、高さが同じということは分かっているから面積比と体積比が同じになるということを覚えてやる問題なのでしょうか。


僕は分からなかったので、下のような時間が掛かるやり方で解きました。
No.73777 - 2021/04/18(Sun) 19:21:28
☆ Re: / らすかる
それを覚えるわけではなく、
(体積)=(底面積)×(高さ)÷3だけ知っていれば十分です。
この式から、高さが一定の時、体積は底面積に比例することが
わかりますので、底面積比＝体積比になりますね。
No.73784 - 2021/04/18(Sun) 21:00:32
☆ Re: / 数学苦手
分かりました！ありがとうございます。あと、最初に底辺分割か相似比どちらを使うか見極めるのが必要だと思いますがこの場合はどのように見極めたら良いのでしょうか。比べるのは三角錐の体積で三角形の体積ではないので底辺分割の定理は使わないのでしょうか。
No.73788 - 2021/04/18(Sun) 21:49:15
☆ Re: / らすかる
使ってもできると思います。
補助線BFを引いて
AF=FDから△ABF=(1/2)△ABD
AE=EBから△AEF=(1/2)△ABF
よって△AEF=(1/2)△ABF=(1/2){(1/2)△ABD}=(1/4)△ABD
相似だと例えばAE：EB=2：1のようにAF：FDと比が異なる場合に使えませんが、
上記の計算ならばどんな比率でも使えますね。
No.73789 - 2021/04/18(Sun) 22:14:55
☆ Re: / 数学苦手
AE:EB=2:1とすると、AF:FD=2:1じゃないですか？
No.73791 - 2021/04/18(Sun) 22:52:46
☆ Re: / らすかる
相似の場合はそうなりますが、そうではなく
「AE：EB=2：1かつAF：FD=1：1のときに立体ACEFは正四面体ABCDの体積の何分の1か」
という相似でない場合の問題でも上記の方法が適用できる、と言っています。
No.73793 - 2021/04/18(Sun) 23:35:06
☆ Re: / 数学苦手
なるほど。あ、少し前のアドバイスについてですが補助線DEを引いたら、三角形EBDもしくは三角形AEDが2分の1三角形ABDになりますね。
No.73796 - 2021/04/19(Mon) 01:19:03
☆ Re: / 数学苦手
> 使ってもできると思います。
> 補助線BFを引いて
> AF=FDから△ABF=(1/2)△ABD
> AE=EBから△AEF=(1/2)△ABF
> よって△AEF=(1/2)△ABF=(1/2){(1/2)△ABD}=(1/4)△ABD
> 相似だと例えばAE：EB=2：1のようにAF：FDと比が異なる場合に使えませんが、
> 上記の計算ならばどんな比率でも使えますね。

あ、あと…「よって」の後ろについてですが三角形どうしの比、この場合は相似比ではなく、面積比というのでしょうか。それは最終的に合わさったものを求めるときは掛け算しないといけないんですね？
No.73797 - 2021/04/19(Mon) 01:37:50
☆ Re: / らすかる
はい、面積比です。
(1/2){(1/2)△ABD}までは単純な代入ですが、
最終的に(1/2)×(1/2)×△ABDという式になりますので
(1/2)×(1/2)の部分だけは掛ける必要がありますね。
No.73802 - 2021/04/19(Mon) 14:26:28
☆ Re: / 数学
小学生のときに比は✖と聞いたことあります。基本的に図形の問題で比を使って、複数の図形を足して求めたい図形の面積、体積を表すときは掛け算をすれば良いのでしょうか？
No.73803 - 2021/04/19(Mon) 15:27:26
☆ Re: / らすかる
複数の図形を「足す」なら足し算です。
AはBのx倍、BはCのy倍のような場合ならば
AはCのxy倍のように掛け算になります。
No.73804 - 2021/04/19(Mon) 15:42:26
☆ Re: / 数学苦手
なるほど！
No.73816 - 2021/04/19(Mon) 20:15:32
☆ Re: / 数学苦手
比は何倍って考え方ですものね
No.73817 - 2021/04/19(Mon) 20:16:52