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記事No.73870に関するスレッドです
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解析学
/ ニラロール
引用
次の極限値を求め、極限値が存在しない場合はその理由を述べよ
解けそうな方お願いします(･_･;
No.73870 - 2021/04/21(Wed) 13:24:39
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Re: 解析学
/ 関数電卓
引用
x＝rcosθ，y＝rsinθ
と置くと，
(x, y)→(0,0) ⇔ r→0
(1)
(x＋y)^3＝2√2･r^3･(sin(θ＋π/4))^3
x^2＋y^2＝r^2
より
(x＋y)^3/(x^2＋y^2)＝2√2･r(sin(θ＋π/4))^3≦2√2･r→0 (r→0)
∴ 与式＝
0
(2)
(x＋y)^2/(x^2＋y^2)＝…＝2(sin(θ＋π/4))^2
よって，x 軸と角θをなす直線上から原点に近づくとき極限が 2(sin(θ＋π/4))^2 となり，近づき方により極限が異なるから
極限値は存在しない。
No.73871 - 2021/04/21(Wed) 17:43:37
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Re: 解析学
/ IT
引用
別解
(1)
|(x+y)^3/(x^2+y^2)|=|(x^3+3(x^2)y+3xy^2+y^3)/(x^2+y^2)|
≦(|x^3|+|3(x^2)y|+|3xy^2|+|y^3|)/(x^2+y^2)
≦|x^3|/x^2+|3(x^2)y|/x^2+|3xy^2|/y^2+|y^3|/y^2
＝|x|+|3y|+|3x|+|y|→0（(x,y)→ (0,0))
(2) 略解
y=x のとき, (x＋y)^2/(x^2＋y^2)＝(2x)^2/(2x^2)=2
y=-x のとき, (x＋y)^2/(x^2＋y^2)=0
No.73876 - 2021/04/21(Wed) 19:54:51
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Re: 解析学
/ ニラロール
引用
ありがとうございます！
No.73884 - 2021/04/22(Thu) 16:59:15
