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問題
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No.73995 - 2021/04/29(Thu) 15:08:40
| ☆ Re: 有名題 / X | | | 条件から
A(4+2cosθ,3+2sinθ),B(4+2cos(θ+π/2),3+2sin(θ+π/2))
(0≦θ＜2π)
と置くことができるので
↑OA・↑OB=(4+2cosθ){4+2cos(θ+π/2)}+(3+2sinθ){3+2sin(θ+π/2)}
=(4+2cosθ)(4-2sinθ)+(3+2sinθ)(3+2cosθ)
=25+8cosθ-8sinθ+6sinθ+6cosθ
=25-2sinθ+14cosθ
=25-(10√2)sin(θ-φ)
(但しφはtanφ=7,0≦φ＜π/2なる角)
∴↑OA・↑OBの最大値は25+10√2
このとき
θ-φ=3π/2
∴θ=3π/2+φ
となるので
A(4+2cos(3π/2+φ),3+2sin(3π/2+φ)),B(4+2cos(2π+φ),3+2sin(2π+φ))
これより
A(4-2sinφ,3-2cosφ),B(4+2cosφ,3+2sinφ)
∴A(4-(7/5)√2,3-(1/5)√2),B(4+(1/5)√2,3+(7/5)√2)
↑OA・↑OBの最小値は25-10√2
このとき
θ-φ=π/2
∴θ=π/2+φ
となるので
A(4+2cos(π/2+φ),3+2sin(π/2+φ)),B(4+2cos(π+φ),3+2sin(π+φ))
これより
A(4-2sinφ,3+2cosφ),B(4-2cosφ,3-2sinφ)
∴A(4-(7/5)√2,3+(1/5)√2),B(4-(1/5)√2,3-(7/5)√2)
A,Bの立場を入れ替えることを考えると
↑OA・↑OBの最大値は25+10√2
(このとき
A(4-(7/5)√2,3-(1/5)√2),B(4+(1/5)√2,3+(7/5)√2)
又は
A(4+(1/5)√2,3+(7/5)√2),B(4-(7/5)√2,3-(1/5)√2))
↑OA・↑OBの最小値は25-10√2
(このとき
A(4-(7/5)√2,3+(1/5)√2),B(4-(1/5)√2,3-(7/5)√2)
又は
A(4-(1/5)√2,3-(7/5)√2),B(4-(7/5)√2,3+(1/5)√2))
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No.73999 - 2021/04/29(Thu) 16:58:02 |
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