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記事No.74026に関するスレッドです
★
複素数
/ さち
引用
複素数の問題です。
(1){√2(3+2i)/(1+5i)}^2021
(2)i^i^i
値の求め方が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.73985 - 2021/04/28(Wed) 22:45:16
☆
Re: 複素数
/ X
引用
(1)
(与式)=e^{i2021{arctan(2/3)-arctan5}}
ここで加法定理により
tan{arctan(2/3)-arctan5}=(2/3-5)/(1+10/3)
=-1
更に
π/6＜arctan(2/3)＜π/4
π/4＜arctan5＜π/2
により
-π/3＜arctan(2/3)-arctan5＜0
に注意すると
arctan(2/3)-arctan5=-π/4
よって
(与式)=e^{-i(505π+π/4)}=e^(-i5π/4)
=e^(i3π/4)
=-1/√2+i/√2
(2)
i^i={e^(iπ/2)}^i
=e^(-π/2)
∴(与式)=i^{e^(-π/2)}
=cos{(π/2)e^(-π/2)}+isin{(π/2)e^(-π/2)}
No.73988 - 2021/04/29(Thu) 06:06:40
☆
Re: 複素数
/ さち
引用
ありがとうございます！
No.74011 - 2021/04/29(Thu) 18:37:56
☆
Re: 複素数
/ 関数電卓
引用
(2)
a＝i^i＝e^(π/2)i･i＝e^(-π/2)＝0.2078…
b＝i^a＝{e^{(π/2)i}^a
＝e^i{(π/2)･e^(-π/2)}
(π/2)e^(-π/2)＝θ とおき
b＝cosθ＋isinθ
θ＝(π/2)e^(-π/2)＝(1.5707…)×(0.20787…)≒0.3265[rad]≒18.7°
と，ここまでやって，私は初めて「解けた」と感じます。
※ 単なる個人の好みとこだわりですが…
No.74026 - 2021/04/29(Thu) 21:23:12
☆
Re: 複素数
/ らすかる
引用
(2)
i^i={e^((1/2-2n)πi)}^i=e^((2n-1/2)π) （nは整数）なので
i^(i^i)=i^{e^((2n-1/2)π)}
=cos{(2m+1/2)πe^((2n-1/2)π)}+isin{(2m+1/2)πe^((2n-1/2)π)} （m,nは整数）
No.74038 - 2021/04/30(Fri) 00:10:13
