[ 掲示板に戻る ]
記事No.74224に関するスレッドです
★ (No Subject) / あんこ
R^2⊃A= {(x,y)｜1＜x＜2,1＜y＜3} ∪ {(x,y)｜2＜x＜3,1＜y＜2}
このとき、

?@Aをxy平面に図示せよ
?AR^2∋P=(5/2,5/2)について、PはAの内点・外点・境界点のうちどれか。証明をつけて答えよ。
?BAの内部、外部、境界をxy平面に図示せよ。内部の図、外部の図、境界の図をそれぞれ別に描く こと。証明はしなくてよい。
?CAは開集合かそうでないか。また閉集合かそうでないか。それぞれ証明をつけて述べよ。 (1)はなんとなくできました。(2)は完全に外の点だなと思うのですが、証明の仕方がわかりません。また開集合とかどういう事かわかりません。どなたか得意な方お願いします
No.74220 - 2021/05/03(Mon) 02:29:29
☆ Re: / IT
(1) Aの図は手書きでもいいので、出来れば写して載せられるといいと思います。
(2)
・内点、外点の定義はどうなっていますか？
・また点Pを(1)の図にプロットされるといいです。
No.74221 - 2021/05/03(Mon) 07:42:45
☆ Re: / あんこ
ご返信ありがとうございます！
(1)は写真のような感じだと思います汚くてすみません。

内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
調べたら以下のように出てきました。
)A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
Ai :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A}⊂A.
(2) A の外点全体の集合を A の外部 (exterior) といい，Ae で表す:
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}=(Ac)i ⊂Ac.
(3) A の境界点全体の集合を A の境界 (frontier, boundary) といい，Af (または Ab) で表す:
Af :={x∈Rn |∀ε>0に対して，B(x;ε)∩A̸=∅かつB(x;ε)∩Ac ̸=∅}.
No.74222 - 2021/05/03(Mon) 08:34:57
☆ Re: / IT
Aの図は良いと思います。（どの境界線が含まれるかどうかの記述は要ると思いますが）

> 内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
> 調べたら以下のように出てきました。
> )A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
お使いの授業のテキストなどで調べられたのですか？　

では、「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

PをAの図に描いてください。
No.74223 - 2021/05/03(Mon) 08:45:03
☆ Re: / あんこ

集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？

あと点Pはここですか？
No.74224 - 2021/05/03(Mon) 09:29:25
☆ Re: / IT
>> 「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

> 集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？
違います。私が聞いているのは、「内点」の定義です。
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
が理解できてないようです。だとするとこの問題を解くのは難しいと思います。

B(x;ε)は、どんなものか分かりますか？
テキストに「内点」やB(x;ε)について　図解で定義や説明がしてないですか？

授業を受けておられて、それに関連した出題だと思いますので、授業で使われたテキストや授業で示された定義を理解し、それを基にして考える必要があります。

>
> あと点Pはここですか？

そうですね。
No.74225 - 2021/05/03(Mon) 09:37:05
☆ Re: / あんこ
0より大きいε(限りなく小さな数)があって、

BはAの部分集合、という意味でしょうか？
No.74226 - 2021/05/03(Mon) 09:58:20
☆ Re: / IT
> 0より大きいε(限りなく小さな数)があって、
> BはAの部分集合、という意味でしょうか？
「限りなく小さな数」というものはありません（少なくともこの議論の中では）
0より大きいある実数εがあって
　B(x;ε)⊂A 　すなわちB(x;ε) はA の部分集合 となる。

B(x;ε)は、どんな集合ですか？
これは、考えることではなくて、テキスト（か講義ノート）に書いてあることを確認するだけです。テキストはないのですか？
No.74227 - 2021/05/03(Mon) 10:05:19
☆ Re: / あんこ
B(x ; ε)
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合

でしょうか？
No.74228 - 2021/05/03(Mon) 10:23:40
☆ Re: / IT
> B(x ; ε)
> xからの距離が εより小さい点全体からなる集合
> でしょうか？
合っています。

では、整理すると
・集合Aの「内点」の定義はどう書けますか？
・集合Aの「外点」の定義はどう書けますか？
・点Pが集合Aの「外点」であることを示すには、何を示せば良いですか？
・図に　B(P;0.2) を描いてみてください。
No.74229 - 2021/05/03(Mon) 10:39:50
☆ Re: / あんこ
内点の定義
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
0より大きいある実数εがあって　　
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の部分集合 となる。

外点の定義
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}
0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合 となる。

点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
でしょうか？？
No.74230 - 2021/05/03(Mon) 11:09:47
☆ Re: / IT
> 外点の定義
> 0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合 となる。
集合B(x;ε)はA の補集合とは限りません。
集合B(x;ε)はAの補集合に含まれる。（Aの補集合の部分集合である。）です。

>
> 点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
> でしょうか？？
あるε>0を見つけて　B(P;ε)⊂Ac　であることを示すのです。

B(P;0.2)は、描いて見ましたか？
No.74233 - 2021/05/03(Mon) 13:23:45
☆ Re: / あんこ
なるほど、ありがとうございます！

0.2はどこからきたんですか？
No.74238 - 2021/05/03(Mon) 14:44:50
☆ Re: / IT
> 0.2はどこからきたんですか？
B(P;ε)⊂Ac　であるためには、
　εは、0より大きく0.5 以下なら　いくらでもいいです。

なぜかは、B(P;0.2)　B(P;0.5) などを描いて見ると分かると思います。（手と目と頭を動かして考えましょう）
No.74239 - 2021/05/03(Mon) 14:55:46
☆ Re: / あんこ

そういう考え方なのですね！
難しいなあ

円で書けば良いですか？
Aに接しない円ができるので合っていますか？
No.74240 - 2021/05/03(Mon) 14:58:51
☆ Re: / IT
> 円で書けば良いですか？
もちろんそうです。

> Aに接しない円ができるので合っていますか？
そうですね。（おおむねそういうことで合っています）
No.74241 - 2021/05/03(Mon) 15:22:54
☆ Re: / あんこ

円がかけたのですが、
p(2,5)を中心とする半径0.2の円の内部をPとして、
P=｛(x,y)｜(x-2)^2+(y-5)^2<0.2｝
このP上の任意の点が、Aに含まれるかどうかを調べるような形で良いですか？
No.74246 - 2021/05/03(Mon) 16:39:56
☆ Re: / IT
そうですね。
No.74247 - 2021/05/03(Mon) 16:42:37
☆ Re: / あんこ
沢山聞いてすみませんでした。
ありがとうございました
No.74248 - 2021/05/03(Mon) 17:05:45