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記事No.74317に関するスレッドです
★ (No Subject) / りつ
一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHの辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。3点G,M,Nを通る平面でこの立方体を切るとき、切口の面積を求めなさい。

答えは、7√17/6です。

よろしくお願いします。
No.74313 - 2021/05/05(Wed) 11:46:25
☆ Re: / IT
図（できたとこまでの補助線入り）を載せてみてください。
　
No.74314 - 2021/05/05(Wed) 12:05:40
☆ Re: / りつ
よろしくお願いします。
No.74317 - 2021/05/05(Wed) 12:38:36
☆ Re: / らすかる
問題文ではNはCDの中点
図ではNはADの中点
どちらが正しいですか？
No.74318 - 2021/05/05(Wed) 12:45:44
☆ Re: / IT
> 一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHの辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。

これと図が一致しないようですが、どちらが正しいですか？
（これだと、答えは、7√17/6にならないので確認しました。）
No.74319 - 2021/05/05(Wed) 12:47:46
☆ Re: / りつ
すみません。
正しくは、NはADの中点です。
問題文が間違っていました。
No.74321 - 2021/05/05(Wed) 13:34:16
☆ Re: / らすかる
BFと切り口の交点をP、DHと切り口の交点をQとすると
（切り口は五角形GQNMP）
PQ=2√2
MNの中点をRとすると
上から見た図でGRはAGの3/4なので3√2/2
GRの縦方向は2なので、GR=√{(3√2/2)^2+2^2}=√34/2
△GQPでQPを底辺とすると高さはGRの2/3なので√34/3
よって△GQP=(1/2)・2√2・√34/3=2√17/3
台形MPQNの面積は△GQPの3/4なので、
（∵PMとQNを延長すれば△GQPと合同な三角形ができて高さが台形の2倍）
五角形の面積は△GQPの面積の7/4倍
よって求める面積は(7/4)(2√17/3)=7√17/6
No.74324 - 2021/05/05(Wed) 13:46:59
☆ Re: / りつ
BFと切り口の交点をP、DHと切り口の交点をQとすると
（切り口は五角形GQNMP）
PQ=2√2
ここまでは分かりました。

MNの中点をRとすると
上から見た図でGRはAGの3/4なので3√2/2
なぜ3/4なのですか？

GRの縦方向は2なので、GR=√{(3√2/2)^2+2^2}=√34/2
GRの縦方向とはどういう意味ですか？また2はどのように計算なされたのですか？GRは3√2/2ではないのですか？

△GQPでQPを底辺とすると高さはGRの2/3なので√34/3
なぜ2/3なのですか？

よって△GQP=(1/2)・2√2・√34/3=2√17/3

台形MPQNの面積は△GQPの3/4なので、
なぜ3/4なのですか？

（∵PMとQNを延長すれば△GQPと合同な三角形ができて高さが台形の2倍）
この意味が分かりません。

五角形の面積は△GQPの面積の7/4倍
なぜ7/4なのですか？

よって求める面積は(7/4)(2√17/3)=7√17/6

質問ばかりですみませんが、よろしくお願いします。
No.74326 - 2021/05/05(Wed) 14:35:58
☆ Re: / ヨッシー


上から見た図では
　ＧＲはＣＲに、
　ＡＧはＡＣに、
それぞれ当たります。
(上から見た図をＡＢＣＤとした場合)
同様に、ＧＲの縦方向はＣＧのことです。


ＰＱの中点をＳ、ＰＭとＱＮの交点をＴします。
>△GQPでQPを底辺とすると高さはGRの2/3なので√34/3
>なぜ2/3なのですか？
以降の疑問はこの図で全部解消されるでしょう。
No.74327 - 2021/05/05(Wed) 15:10:00
☆ Re: / りつ
3人の皆様、ありがとうございます。
No.74328 - 2021/05/05(Wed) 16:08:43