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記事No.74490に関するスレッドです
★ 東北大医学部AO数学 / じん
こちらの問題です。全く解法が思いつきません。至急よろしくお願いします。
No.74490 - 2021/05/10(Mon) 20:05:01
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / IT
（１）
まずグラフを描きます。

x[1]=ｘ[2]のときは　容易。
x[1]<ｘ[2]として一般性を失わない。

区間１　[x[1],　p[1]x[1]+p[2]x[2]]
区間２　[p[1]x[1]+p[2]x[2],　x[2]]
において　平均値の定理を使う　
f''(x) ≧0　なので　f'(x) が（広義の）増加関数であることを使う。
簡単に書くと、区間１の傾き≦区間２の傾き　です。

なお、
p[1]x[1]+p[2]x[2]＝x[1]+p[2](x[2]-x[1])
x[2]=p[1]x[1]+p[2]x[2] +p[1](x[2]-x[1])　です。（確認してください）
No.74496 - 2021/05/10(Mon) 21:07:51
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / じん
> （１）グラフを描きます。
>
> x[1]=ｘ[2]のときは　容易。
> x[1]<ｘ[2]として一般性を失わない。
>
> p[1]x[1]+p[2]x[2]＝x[1]+p[2](x[2]-x[1])
> x[2]=p[1]x[1]+p[2]x[2] +p[1](x[2]-x[1])
>
> 区間　[x[1],　p[1]x[1]+p[2]x[2]]
> 区間　[p[1]x[1]+p[2]x[2],　x[2]]
> において　平均値の定理を使う　
> f''(x) ≧0　なので　f'(x) が（広義の）増加関数であることを使う

回答ありがとうございます。すみません。2行目からよくわかりません。大小を設定して一般性を失わないことまではわかるんですが、その後の方針がよくわかりません。4行目の式はp1+p2=1からp1=1-p2にしてp2のみの式に直したのはわかるのですが、5行目は何でしょうか？またそのあと平均値の定理の方針になる思考のプロセスが気になります。色々質問が多くて申し訳ないです。
No.74498 - 2021/05/10(Mon) 21:42:10
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / IT
分かりにくかったので、記述順を変えました。
お手数ですが、もう一度読んでみてください。

区間１、区間２のｘの増加幅を分かり安い数式で書こうとしたのが、

p[1]x[1]+p[2]x[2]＝x[1]　+p[2](x[2]-x[1])
x[2]=p[1]x[1]+p[2]x[2]　 +p[1](x[2]-x[1])　です
No.74499 - 2021/05/10(Mon) 21:45:50
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / 関数電卓
(1)の参考図です。
No.74500 - 2021/05/10(Mon) 21:46:31
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / IT
＞またそのあと平均値の定理の方針になる思考のプロセスが気になります。色々質問が多くて申し訳ないです。

グラフを描くと分かると思います。と書こうとしたところ
分かり安いグラフを関数電卓さんが描いてくださいましたね！
No.74501 - 2021/05/10(Mon) 21:48:25
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / じん
お二方ありがとうございます！！
(1)は解けました！
(2)は区分求積法絡みでしょうか、、、？
No.74502 - 2021/05/10(Mon) 21:52:22
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / IT
> (2)は区分求積法絡みでしょうか、、、？
極限値ではないので区分求積法ではなさそうです。

（１）を使って　数学的帰納法で行けるのでは？
（任意の自然数ｎについて　・・・を示すのは、「数学的帰納法」が第一候補だと思います。）
No.74503 - 2021/05/10(Mon) 21:58:10
☆ Re: 東北大医学部AO数学 / じん
> > (2)は区分求積法絡みでしょうか、、、？
> 極限値ではないので区分求積法ではなさそうです。
>
> （１）を使って　数学的帰納法で行けるのでは？

たしかに極限ないので違いましたね、勉強不足です。。。Σに釣られてしまいました。
試してみます！
No.74504 - 2021/05/10(Mon) 22:02:37