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記事No.74736に関するスレッドです
★ 数lll / たいち
(1)のf(x)の増減を調べるところでつまってしまいました。どなたか解答例教えてください！
No.74736 - 2021/05/18(Tue) 11:09:24
☆ Re: 数lll / ヨッシー
(1)
　ＡＰ＝√(x^2＋1)、ＢＰ＝√{(x−c)^2＋1}
より、
　f(x)＝√(x^2＋1)＋2√{(x−c)^2＋1}
ｘで微分して
　f'(x)＝x/√(x^2＋1)＋2(x−c)/√{(x−c)^2＋1}
ここで、
　g(x)＝x/√(x^2＋1)
において、
　g'(x)＝{√(x^2＋1)−x^2/√(x^2＋1)}/(x^2＋1)
　　＝{(x^2＋1)−x^2}/(x^2＋1)√(x^2＋1)
　　＝1/(x^2＋1)^(3/2)
よって、
　f"(x)＝1/(x^2＋1)^(3/2)＋2/{(x-c)^2＋1}^(3/2)
ｘの全範囲において　f"(x)＞0 であるので、f'(x) は単調増加
　f'(0)＝−2c/√{c^2＋1}＜０
　f'(c)＝c/√(c^2＋1)＞０
より、０＜ｘ＜ｃ の範囲で　f'(x)＝0 の解が１つだけ存在します。
この点をｘ＝αとすると
　ｘ＜α で f'(x)＜０　で　f(x) は単調減少
　α＜ｘ で f'(x)＞０　で　f(x) は単調増加
となり、f(α) が極小かつ最小値となります。

(2)
ｘ＝α のとき f(x) が最小となるとすると、
　f'(α)＝α/√(α^2＋1)＋2(α−c)/√{(α−c)^2＋1}＝０
よって、
　α/√(α^2＋1)＝2(c−α)/√{(c−α)^2＋1}

ここで、
　α＝ＯＰ、ｃ−α＝ＰＨ
であることより
　α/√(α^2＋1)＝ＯＰ／ＡＰ＝sin∠ＰＡＯ
　(c−α)/√{(c−α)^2＋1}＝ＰＨ/ＢＰ＝sin∠ＰＢＨ
よって、
　sin∠ＰＡＯ＝2sin∠ＰＢＨ
sin∠ＰＢＨ＞０ より
　sin∠ＰＡＯ/sin∠ＰＢＨ＝2

α/√(α^2＋1)＋2(α−c)/√{(α−c)^2＋1}＝０
において、α＝２ とおくと、
　2/√(2^2＋1)＋2(2−c)/√{(2−c)^2＋1}＝０
　2/√5＝2(c−2)/√{(c−2)^2＋1}
　√{(c−2)^2＋1}＝√5(c−2)
２乗して
　(c−2)^2＋1＝5(c−2)^2
　4(c−2)^2＝1
　c−2＝±1/2
ｃ＞２ より
　ｃ＝5/2　・・・答え
No.74742 - 2021/05/18(Tue) 13:05:35
☆ Re: 数lll / 関数電卓
この問題は数?Vの問題としてアレンジされていますが，問題の背景に，物理の 波の屈折の法則 があることにはお気づきですか？
すなわち，A(0,1) から出た波が y＞0 領域では速さ v1＝1 で進み，y＜0 領域では速さ v2＝1/2 で進むとき，B(c,−1) に到達する 時間が最短になる経路は APB である。（フェルマーの原理）
このとき，
　屈折の法則　sin∠PAO/sin∠PBH＝v1/v2 (＝2)
が成り立つ。
No.74752 - 2021/05/18(Tue) 18:54:46