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記事No.74798に関するスレッドです
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写像
/ 牡蠣
引用
写像の問題です。
写像p:R^2→R^3を以下のように定める。
p(u,v)={(3+cosu)cosv,(3+cosu)sinv,sinu}
pはどんな曲面か、像を描け、という問題です。
どのような像になるのかご教授お願いいたします。
No.74796 - 2021/05/20(Thu) 17:39:41
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Re: 写像
/ 関数電卓
引用
下図のような円環面（ドーナツの表面）ですね。
No.74798 - 2021/05/20(Thu) 19:15:37
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Re: 写像
/ 関数電卓
引用
x＝(3+cosu)cosv …(1)
y＝(3+cosu)sinv …(2)
z＝sinu …(3)
v＝π/2 とすると，cosv＝0, sinv＝1 で，上式は
x＝0 …(1)'
y＝3+cosu …(2)'
z＝sinu …(3)'
で，下図の円（右側）になり，
これを z 軸の回りに回転すると，上のドーナツ面になります。
No.74799 - 2021/05/20(Thu) 20:09:11
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Re: 写像
/ 牡蠣
引用
(y-3)^2+z^2=1
(y+3)^2+z^2=1
この2つの円が出てくることは分かりました。
ただ、回転させる、という考えはどこからきたものでしょうか。
お手数おかけし申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。
No.74809 - 2021/05/20(Thu) 23:33:10
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Re: 写像
/ X
引用
問題の像を円筒座標に変換してみましょう。
No.74815 - 2021/05/21(Fri) 05:20:06
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Re: 写像
/ 関数電卓
引用
(1)(2)(3)で，v を固定（例えば v＝π/2）し u を変化させると，(1)'(2)'(3)'の円になりました。
次に u＝u0 と固定し，3＋cos(u0)＝A とおけば，
x＝Acosv …(1)''
y＝Asinv …(2)''
z＝sin(u0) …(3)''
となります。
ここで v が変化すると「xy 平面に平行で，中心 (0,0,sin(u0)), 半径 A の円」になりますね。
これが，「z 軸の回りに回転させる」ことの正体です。
尚，X さんがお書きの円筒座標とは，
(1)^2＋(2)^2： x^2＋y^2＝(3＋cosu)^2＝r^2 とし，
r＝3＋cosu …(4)
z＝sinu …(5)
と書き表すものを言います。
No.74816 - 2021/05/21(Fri) 09:07:36
