数?Vの極限の問題です。難しくて困っています。どのように解けばよいのか解法を教えていただけるとありがたいです。
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No.74800 - 2021/05/20(Thu) 20:28:26
| ☆ Re: 数?V極限 / IT | | | (fの条件２）x,y∈[0,1]に対して、x≠y ⇒ |f(x)-f(y)|＜|x-y|
（元の問題の解法）
h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a (# a はf(x)の「不動点」です。)
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）
＃以下は、全面的に直しました。＃
d(x)=|h(x)| とおく。d(x)は連続関数。
d(x[n])は、非増加数列で0以上なので収束する。
lim(n→∞)d(x[n])=βとする。
[0,1]は有界閉集合なので{x[n]}は、[0,1]内に収束する部分列{x[n[k]]}を持つ。
（大学レベルだと思います。）
lim(k→∞)x[n[k]]=zとする。z ∈[0,1]
lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）
d(x)は連続関数なので
lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=β
lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=β
∴d(z)=d(f(z))=β
すなわち|z-f(z)|=|f(z)-f(f(z))|
(fの条件２）から、z=f(z) ∴β＝0
∴z=a
よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。
すなわち{x[n]}はaに収束する。
#「Edelsteinの不動点定理」と呼ばれるものです。
（数3の範囲で厳密に示すのは無理かなと思います）
# y=x とy=f(x) のグラフを描いて見ると分かり安いと思います。
# x[1]=x のx とそうでない一般のxの区別が分かりにくいので,x[1] として表記しています。
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No.74824 - 2021/05/22(Sat) 07:30:42 |
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