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記事No.75096に関するスレッドです
★ 高3 微少量や近似の扱い方について / こう
高校数学の数三、体積を求める問題です。

答えが欲しいのではなく、微少量や近似の扱い方についての質問です。 僕の浅はかな知識では解決できないので、数学が得意な方にご教授いただけると、幸いです。

画像のなかのピンクのラインが引かれているところが自明ではないという指摘を受けました。（正確にはギャップがあるというふうに言われました）
さらに、大学入試でこの解答を提出しても、点数はもらえないとも言われました。
たしかに、PQの長さの微少量までは問題ないと思いますが、それを体積計算に入れてしまうところにギャップを感じるそうです。

よろしくお願いします。
No.75096 - 2021/05/28(Fri) 21:05:43
☆ Re: 高3 微少量や近似の扱い方について / 黄桃
悩ましい答案です。
私は物理が苦手なので、偏見があるかもしれませんが、考え方は合っているので、物理としてならいいんではないでしょうか。
ですが、数学の答案としては、「何を根拠にどうしてこういう式ができるのか」という説明が不十分だと思います。
この点を「ギャップがある」と表現されているのだと思います。

ただ、点数はもらえない、というのはどうでしょうか。
Δtを使った部分の説明は積分の本質をつかんでいて、高校数学の範囲なら、この説明でも許してもらえると思います。
ですが、全体として、きちんと理解したうえで舌足らずな説明をしているのか、理屈はわからないけどこんな感じでどうでしょう？と根拠あいまいで断定しているのか判断が難しいです。
なので、「こんなんじゃ説明にならん」と判断されれば0点かもしれませんが、「まあまあいっていることは分かる」と判断されればかなり点数はもらえそうです。採点基準次第でしょう。

どうすればいいかというと、「置換積分」であることを説明すればいいでしょう。

示された図で原点とHとの距離をu とすれば、最初にH(u,u)を決めて、それからPの座標(t,t^2-t)を決めることにすれば、t=f(u)と何らかの関数でかけることになります。
すると、PH^2=r(u)(=(u-t)^2+(u-(t^2-t))^2) とおけば、求める体積Vは
V=π∫[0,2√2] r(u) du
となるわけです。これを t=f(u)の逆関数 u=g(t)を使って、u=g(t) と置換積分して計算しよう、というのと同じことをこの答案はしています。
そのため g'(t)が必要で、これをΔtを使って計算し（この計算の根拠が弱いといわれるかもしれませんが）、r(u)の部分は点と直線の距離を使ってtの関数として表現し、最終的に
V=∫[0,2] r(u)*g'(t) dｔ
を計算しました。

このように（自分はちゃんと理解できていると）説明もきちんとできていれば、この考え方で問題ないと思います。
No.75120 - 2021/05/29(Sat) 11:58:11