aの方針を教えていただけるとうれしいです。
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No.75366 - 2021/06/03(Thu) 11:20:16
| ☆ Re: 微分方程式 / WIZ | | | x が如何なる値でも x^0 = 1 と仮定して回答します。
(a.)
f(x) = Σ[n=0, ∞]{(1/n!)a[n](x^n)}
⇒ f'(x) = Σ[n=1, ∞]{(1/n!)a[n]*n(x^(n-1))}
= Σ[n=1, ∞]{(1/(n-1)!)a[n](x^(n-1))}
= Σ[n=0, ∞]{(1/n!)a[n+1](x^n)}
⇒ f''(x) = Σ[n=1, ∞]{(1/n!)a[n+1]*n(x^(n-1))}
= Σ[n=1, ∞]{(1/(n-1)!)a[n+1](x^(n-1))}
= Σ[n=0, ∞]{(1/n!)a[n+2](x^n)}
f'(x)+2f(x) = Σ[n=0, ∞]{(1/n!)a[n+1](x^n)}+2Σ[n=0, ∞]{(1/n!)a[n](x^n)}
= Σ[n=0, ∞]{(1/n!)(a[n+1]+2a[n])(x^n)}
= Σ[n=0, ∞]{(1/n!)a[n+2](x^n)}
= f''(x)
(b.)
f'' = f'+2f
⇒ f''+f' = 2(f'+f)
⇒ (f'+f)' = 2(f'+f)
f'+f = 0 という定数関数の場合、
⇒ f = 0 という定数関数も解。しかし、これは題意にそぐわない。
⇒ f ≠ 0 の場合、A を正の定数として f = A(e^(-x))
f'+f ≠ 0 の場合、B を正の定数として f'+f = B(e^(2x))
⇒ (f'+f)(e^x) = B(e^(2x))(e^x)
⇒ (f(e^x))' = B(e^(3x))
⇒ f(e^x) = (B/3)(e^(3x))+C (Cは積分定数)
⇒ f = D(e^(2x))+C(e^(-x)) (D = B/3は定数)
f = A(e^(-x)) は上記の D = 0 の場合に他ならないので、
一般解は f = D(e^(2x))+C(e^(-x)) となる。
ここで、f(0) = a[0] = 0, f'(0) = a[1] = 1 なので、
f(0) = D(e^(2*0))+C(e^(-0)) = D+C = 0
f'(0) = 2D(e^(2*0))+(-1)C(e^(-0)) = 2D-C = 1
より、D = 1/3, C = -1/3
以上より、f(x) = {e^(2x)-e^(-x)}/3
(c.)
f(x) の m 階導関数を f[m](x) と書くことにすると、f[m](0) = a[m] となる。
f[m](x) = {(2^m)(e^(2x))-((-1)^m)(e^(-x))}/3 なので、
a[m] = f[m](0) = {(2^m)(e^(2*0))-((-1)^m)(e^(-0))}/3 = {2^m-(-1)^m}/3
となります。
上記は m = 0 でも成立します。
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No.75372 - 2021/06/03(Thu) 14:42:15 |
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