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記事No.75377に関するスレッドです
★ 余剰定理 / One
再質問です
No.75376 - 2021/06/03(Thu) 16:04:39
☆ Re: 余剰定理 / One
拡大図です
No.75377 - 2021/06/03(Thu) 16:06:06
☆ Re: 余剰定理 / One
(1),(2)を教えてください。不備な点があればお伝えてください。
No.75405 - 2021/06/04(Fri) 12:19:56
☆ Re: 余剰定理 / 黄桃
[基本性質]
f(x),g(x)が互いに素（因数分解したときに共通因数を持たない）整式なら、
f(x)で割ると r(x) あまり、g(x)で割ると s(x) あまる(☆)
という整式は存在し、そのような整式を f(x)*g(x)で割った余りはただ1通りである

まずこれを理解してください。

この基本性質を利用するために、(1)なら、f(x)=(x-1), g(x)=(x+1)^2 として考えます。だから、(x-1)で割った余りを求めるために、(x-1)^2で割った余りをさらに(x-1)で割るのです。
(2)なら、f(x)=(x-1)^2,g(x)=(x+1)^2 で考えます。

さらに、f(x),g(x)が互いに素だと、
a(x)f(x)+b(x)g(x)=1 (*)
となるような整式a(x),b(x)があります。
このようなa(x),b(x)がみつかると、
a(x)f(x)s(x)+b(x)g(x)r(x) (**)
は、(☆)を満たします（f(x)で割ると(b(x)g(x)=-a(x)f(x)+1　だからr(x)があまり、g(x)で割る方も同様）。
よって、これをf(x)*g(x)で割った余りが求める答です。

あとはいかにして、(**)かこれに相当する整式を求めるか、ということになります。
因数定理を使ったり、微分したり p(x+1)^2+q(x+1)+r を考えたりして、楽に求める工夫があるわけです。

ですが、面倒でもよければ、(*)を満たすa(x),b(x)を整数の場合と同様に互除法で求めることができ、これから(**)も求まります。
この方法はどんなf(x),g(x)でも使えますが、計算は大変だと思います。
(2)を例にとれば、
(x+1)^2=(x-1)^2+4x ((x+1)^2を(x-1)^2で割った;余りが4xになった)
(x-1)^2=(1/4)(x-2)*4x+1 ((x-1)^2 を 4xで割った：余りが１になったのでおしまい）
より、
1=(x-1)^2-(1/4)(x-2)*4x
=(x-1)^2-(1/4)(x-2)((x+1)^2-(x-1)^2)
=(1/4)(x+2)(x-1)^2-(1/4)(x-2)(x+1)^2
なので((x-1)^2 で割った余りが判読できなかったので -x-6にしています）
(1/4)(x+2)(x-1)^2(-x-6)-(1/4)(x-2)(x+1)^2(-x+2)
を(x-1)^2(x+1)^2 で割った余りが求めるものです。
計算すれば最高次係数が消えるので割り算するまでもなく答　-2x^3+5x-2 がでます。

＃回答がつかないのは、画像が見づらいのもありますが、一番には
＃「考えなくて済む（＝考え方はどうでもいい）、オールマイティな方法を教えろ」
＃としか思えない質問の仕方でしょう。
＃どんな問題でも解ける万能な解法はありませんから。
No.75427 - 2021/06/05(Sat) 07:59:23
☆ Re: 余剰定理 / One
ありがとうございます！
No.75462 - 2021/06/05(Sat) 19:56:59
☆ Re: 余剰定理 / One

[基本性質]
f(x),g(x)が互いに素（因数分解したときに共通因数を持たない）整式なら、
f(x)で割ると r(x) あまり、g(x)で割ると s(x) あまる(☆)
という整式は存在し、そのような整式を f(x)*g(x)で割った余りはただ1通りである

これに名称があったりしますか？
No.75463 - 2021/06/05(Sat) 20:26:20
☆ Re: 余剰定理 / 黄桃
>これに名称があったりしますか？
私は知りません。
「a,bが互いに素な整数であれば、aで割るとxあまり、bで割るとyあまる整数が abの整数倍を除いてただ１つ定まる」
のと同じことですが、これに名称があるかどうかもしりません。あるのであれば、同じ名称で呼んでもいいでしょう。

互いに素な3つの整式f(x),g(x),h(x)についてであれば「中国の剰余定理」といってもいいですが。
No.75468 - 2021/06/05(Sat) 21:41:12