文系の大学生です。何が何だかさっぱりわからないので丁寧に教えてもらえると助かります。是非ともよろしくお願いします。どなたか助けてください。
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No.75500 - 2021/06/07(Mon) 15:07:59
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / GandB | | | > そんな公式みたいなものがあるのですね！ありがとうございます。
> 知らなかったです…テキストというかダウンロードした資料には記載がなかったです。
> (＊)の式の使い方は理解しました。
うーん。どうもねえ。本人が理解したと納得しているのなら、それでいいのだが、(＊)の式とその使い方を丸暗記したところで、応用が利かない。
No.75503 のヒントを参考にして高校数学の範囲（と思われる）で(1)を解く。
点 A(x0, y0, z0) を通りn↑= (a, b, c) に垂直な平面上の点 P(x,y,z) は
AP↑・n↑ = 0
なので、
AP↑= OP↑- OA↑= (x-x0, y-y0, z-z0).
AP↑・n↑ = (x-x0, y-y0, z-z0)・(a, b, c)
= a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0. ･････(#)
これが3次元空間における一般的な平面の方程式。問題の(1)は
x^2 + y^2 + z^2 = 1
の点 A(1/√3, 1/√3, 1/√3) における接平面の方程式を求めるわけだが、A は球面との接点なのだから法線ベクトルも
n↑= OA↑= (1/√3, 1/√3, 1/√3)
となる。したがって(#)より
1/√3(x-1/√3) + 1/√3(y-1/√3) + 1/√3(z-1/√3) = 0.
(1/√3)x - 1/3 + (1/√3)y - 1/3 + (1/√3)z -1/3 = 0.
(1/√3)x + (1/√3)y + (1/√3)z = 1.
∴x + y + z = √3.
しかし、問題文では2変数関数
z = √(1-x^2-y^2)
と明記されているし、「大学数学むずい」のハンドルを考慮して（笑）、曲面 z = f(x,y) 上の点 A(x0, y0, z0) における接平面の方程式
z - z0 = (∂f/∂x)(x-x0) + (∂f/∂y)(y-y0) ･････(##)
を使った解答も示しておく。
z = f(x,y) = √(1-x^2-y^2)
∂f/∂x = -x/√(1-x^2-y^2). ∂f(1/√3,1/√3)/∂x = -1.
∂f/∂y = -y/√(1-x^2-y^2). ∂f(1/√3,1/√3)/∂y = -1.
点 A(1/√3, 1/√3, 1/√3) における接平面の方程式は、この結果を(##)に代入して
z - 1/√3 = -(x-1/√3) - (y-1/√3)
= - x - y + 2/√3
∴x + y + z = 3/√3 = √3
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No.75556 - 2021/06/08(Tue) 12:14:22 |
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