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記事No.75573に関するスレッドです
★ 積分について / あわじ
画像のQxの積分がうまく解けません。物理の問題なのですが、数学的な積分そのものがうまく解答できないので質問させていただきました。（3.2式、3.6式がヒントになっているのですが、他のヒントそうな式も掲載しておきます。使わなければ無視していただいて構いません。）
No.75573 - 2021/06/08(Tue) 23:33:51
☆ Re: 積分について / X
Q(x)=∫[w[x]:0→∞]dw[x]∫[w[y]:-∞→∞]dw[y]∫[w[z]:-∞→∞]dw[z](1/2)m{w[x]^3}f(w[x])f(w[y])f(w[z])
+∫[w[x]:0→∞]dw[x]∫[w[y]:-∞→∞]dw[y]∫[w[z]:-∞→∞]dw[z](1/2)m{w[y]^2+w[z]^2}w[x]f(w[x])f(w[y])f(w[z])
と被積分関数を分けて計算します。


(i)第1項について。
∫[w[x]:0→∞](w[x]^3)f(w[x])dw[x] (A)
の計算ですが、これはf(w[x])を(3・2)の定義通り元に戻した上で
w[x]^2=t
と置換し、更に部分積分を使えば容易に計算できますので
試してみて下さい。
(このヒントで分からないようでしたら、その旨をアップして下さい。)

次にw[y],w[z]についての積分ですが
f(w[y])f(w[z])=(n^2){m/(2πκT)}8(π^2)(ν^4)e^{-{m/(2κT)}{w[y]^2+w[z]^2}} (A)
と変形できることから、w[y],w[z]を二次元座標と見て、極座標、つまり
w[y]=rcosθ
w[z]=rsinθ
と変換すると、積分範囲は
r:0→∞,θ:0→2π
でヤコビヤンJは
J=r
更に
w[y]^2+w[z]^2=r^2
となります。
この変換をした後、更にrに関してだけ
r^2=u
と置換すれば容易に積分できます。

(ii)第2項について。
w[x]についての積分に対しては(3・6)をそのまま適用します。
w[y],w[z]についての積分に対しては(i)の場合と同じく、
極座標に変換すると、(i)の(A)を元に戻したときの
積分と似たような積分になりますので、同じ方針で
計算します。
No.75598 - 2021/06/09(Wed) 18:44:59