[
掲示板に戻る
]
記事No.75586に関するスレッドです
★
広義積分
/ あ
引用
大学数学初心者です。写真の(2)と(3)が解けません。どなたかお願いします。
No.75586 - 2021/06/09(Wed) 13:18:21
☆
Re: 広義積分
/ 関数電卓
引用
> 大学数学初心者
とおっしゃってますが，高校で数?Vはやっておられますね？
(2) x^4＋4＝(x^2＋2x＋2)(x^2−2x＋2) と因数分解できることを利用して，
1/(x^4＋4) を部分分数分解します。とはいっても，ちょっと大変。
検算
No.75587 - 2021/06/09(Wed) 16:40:09
☆
Re: 広義積分
/ X
引用
では(3)を。
(与式)=∫[a→b]dx/√{-x^2+(a+b)x-ab}
=∫[a→b]dx/√{(1/4)(a+b)^2-ab-{x-(a+b)/2}^2}
=∫[a→b]dx/√{(1/4)(a-b)^2-{x-(a+b)/2}^2}
={2/(b-a)}∫[a→b]dx/√{1-{2{x-(a+b)/2}/(b-a)}^2}
=[arcsin{2{x-(a+b)/2}/(b-a)}][a→b]
=π
No.75596 - 2021/06/09(Wed) 18:21:19
☆
Re: 広義積分
/ 関数電卓
引用
(3) 例えば a＝1, b＝3 としてみます。√ の中を
(x−1)(3−x)＝−x^2＋4x−3＝−(x−2)^2＋1
と平方完成します。X＝x−2 と置けば
与式＝∫(−1,1)(1/√(1−X^2)･dX
さらに X＝sinθ と置換します。
この先が首尾良くできたら (
検算
), a, b のままで同じことをします。
# かぶりましたが，参考までに残しておきます。
No.75597 - 2021/06/09(Wed) 18:35:32
☆
Re: 広義積分
/ WIZ
引用
(3)の別解
∫{1/√(px^2+qx+r)}dx の形の積分は、
(A) p > 0 の場合、t+(√p)x = √(px^2+qx+r) とおくことで
t の有理関数に置換できる。
(B) p < 0 の場合、px^2+qx+r = -(x-a)(x-b) = (x-a)(b-x) と因数分解できる場合、
t = √((x-a)/(b-x)) とおくことで t の有理関数に置換できる。
t = √((x-a)/(b-x))
⇒ (t^2)(b-x) = x-a
⇒ (t^2)b+a = (t^2+1)x
⇒ x = ((t^2)b+a)/(t^2+1)
⇒ dx/dt = {(2tb)(t^2+1)-((t^2)b+a)(2t)}/{(t^2+1)^2} = 2t(b-a)/{(t^2+1)^2}
⇒ √((x-a)(b-x)) = t(b-x) = t{b-((t^2)b+a)/(t^2+1)}
= t{b(t^2+1)-((t^2)b+a)}/(t^2+1)
= t(b-a)/(t^2+1)
よって、
∫{1/√((x-a)(b-x))}dx = ∫{(t^2+1)/(t(b-a))}{2t(b-a)/{(t^2+1)^2}}dt = ∫{2/(t^2+1)}dt
積分範囲は
lim[x→a+0]√((x-a)/(b-x)) = 0
lim[x→b-0]√((x-a)/(b-x)) = ∞
なので、
∫[a, b]{1/√((x-a)(b-x))}dx = ∫[0, ∞]{2/(t^2+1)}dt = [2arctan(t)]_[0, ∞] = π
No.75600 - 2021/06/09(Wed) 19:25:30
☆
Re: 広義積分
/ GandB
引用
(2)のベースとなる 1/(x^4+4) の不定積分。分母の因数分解が簡単にできるので、ムチャクチャ大変ではないが、けっこうな暇つぶしになった(^O^)。しかし、複素解析で必ず出てくる 1/(x^4+1) の不定積分はこの3倍くらい大変。
No.75607 - 2021/06/09(Wed) 22:15:20
