ある命題を解いていたときに、この問いにぶち当たりました。何か、方針や、アドバイスなどあったら教えていただきたいです
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No.75589 - 2021/06/09(Wed) 17:40:49
| ☆ Re: 整数問題です / WIZ | | | α+β≠ 0 かつ αβ≠ 0 とする。
αとβは 0 でない整数なので、ある互いに素な整数 a, b が存在して β = (a/b)α と表せる。
αβ/(α+β) = α*(a/b)α/(α+(a/b)α) = {a/(a+b)}α
a と a+b は互いに素なので、{a/(a+b)}αが整数である為には a+b はαの約数であることが必要。
m を整数として α = m(a+b) とおく。
β = (a/b)α = (a/b)m(a+b) となるが、b と a+b も互いに素なので、b は m の約数であることが必要。
k を整数として、m = kb とおく。
以上から、α = kb(a+b), β = ka(a+b), αβ/(α+β) = {a/(a+b)}α = kab となる。
αβ/(α+β) ≠ 0 となるから、1 ≦ kab ≦ 50 となるが、
整数 kab の取り得る値は 1 から 50 までの有限通りであり、
1つの自然数を kab という3個の整数の積に表す方法も有限通りである。
つまり、(k, a, b) の組の数は有限個である。
(k, a, b) の組が決まればα, βの値も定まるので、(α, β) の組の数も有限個である。
ちなみにαとβが正であるか、負も許すかは、(α, β)の組が (+, +) の個数に対して、
(+, +)(+, -)(-, +)(-, -) と個数が定数倍になるだけで、有限個であることには変わりはない。
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No.75604 - 2021/06/09(Wed) 21:14:59 |
| ☆ Re: 整数問題です / まぴろ  | | | > α+β≠ 0 かつ αβ≠ 0 とする。
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> αとβは 0 でない整数なので、ある互いに素な整数 a, b が存在して β = (a/b)α と表せる。
> αβ/(α+β) = α*(a/b)α/(α+(a/b)α) = {a/(a+b)}α
>
> a と a+b は互いに素なので、{a/(a+b)}αが整数である為には a+b
はαの約数であることが必要。
なるほど！ありがとうございます！！
> m を整数として α = m(a+b) とおく。
>
> β = (a/b)α = (a/b)m(a+b) となるが、b と a+b も互いに素なので、b は m の約数であることが必要。
> k を整数として、m = kb とおく。
>
> 以上から、α = kb(a+b), β = ka(a+b), αβ/(α+β) = {a/(a+b)}α = kab となる。
>
> αβ/(α+β) ≠ 0 となるから、1 ≦ kab ≦ 50 となるが、
> 整数 kab の取り得る値は 1 から 50 までの有限通りであり、
> 1つの自然数を kab という3個の整数の積に表す方法も有限通りである。
> つまり、(k, a, b) の組の数は有限個である。
>
> (k, a, b) の組が決まればα, βの値も定まるので、(α, β) の組の数も有限個である。
> ちなみにαとβが正であるか、負も許すかは、(α, β)の組が (+, +) の個数に対して、
> (+, +)(+, -)(-, +)(-, -) と個数が定数倍になるだけで、有限個であることには変わりはない。
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No.75606 - 2021/06/09(Wed) 21:43:59 |
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