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記事No.75719に関するスレッドです
★
数B
/ あ
引用
塾の課題でだされた、確率漸化式の問題です。どなたか答えと解法を教えてください。
No.75719 - 2021/06/14(Mon) 22:26:24
☆
Re: 数B
/ ヨッシー
引用
a[n] の対象となる事象をＡ[n]、b[n] の対象となる事象をＢ[n] ということにします。
(1)
Ａ[n+1] が起こるのは、ｎ回目で操作が終わっていなくて、n+1回目にＡが出ることなので、
a[n+1]＝(a[n]＋b[n])/6 ・・・（ｉ）
Ｂ[n+1] が起こるのは、ｎ回目にＡが出て、n+1回目にＢが出ることなので、
b[n+1]＝a[n]/3 ・・・(ii)
(2)
(ii) よりｎ≧２において、
b[n]＝a[n-1]/3
(i) に代入して、
a[n+1]＝a[n]/6＋a[n-1]/18
変形して
a[n+1]＋a[n]/6＝(1/3)(a[n]＋a[n-1]/6)
c[n]＝a[n+1]＋a[n]/6 とおくと、初項は
c[1]＝a[2]＋a[1]/6＝1/12＋1/36＝1/9
より
c[n]＝(1/3)^(n+1)
a[n+1]＋a[n]/6＝(1/3)^(n+1)
変形して
a[n+1]−(2/3)(1/3)^(n+1)＝(-1/6){a[n]−(2/3)(1/3)^n}
d[n]＝a[n]−(2/3)(1/3)^n とおくと初項は
d[1]＝a[1]−(2/3)(1/3)＝−1/18
よって、
d[n]＝(1/3)(-1/6)^n
以上より
a[n]＝(1/3)(-1/6)^n＋(2/3)(1/3)^n
b[n]＝a[n-1]/3＝{(1/3)(-1/6)^(n-1)＋(2/3)(1/3)^(n-1)}/3
＝{-6(1/3)(-1/6)^n＋3(2/3)(1/3)^n}/3
＝(-2/3)(-1/6)^n＋(2/3)(1/3)^n
＝(2/3){(1/3)^n−(-1/6)^n}
(3)
Ａ[n-1] または Ｂ[n-1] が起こって、ｎ回目にＣが出るか、
Ｂ[n-1] が起こって、ｎ回目にＢが出るとｎ回目で終了するので、
求める確率は、
{(1/3)(-1/6)^(n-1)＋(2/3)(1/3)^(n-1)}×(1/2)＋(2/3){(1/3)^(n-1)−(-1/6)^(n-1)}×(5/6)
＝(1/6)(-1/6)^(n-1)＋(1/3)(1/3)^(n-1)＋(5/9){(1/3)^(n-1)−(-1/6)^(n-1)}
＝(8/9)(1/3)^(n-1)−(7/18)(-1/6)^(n-1)
＝(8/3)(1/3)^n＋(7/3)(-1/6)^n
No.75725 - 2021/06/15(Tue) 10:51:01
☆
Re: 数B
/ けんけんぱ
引用
塾の課題で出されたのであれば塾で解答・解説をしないのでしょうか？
ときどきある質問なのでいつも不思議なんです。
これは質問に対する回答ではないので、不適切であれば消してくださっても構いません。
No.75730 - 2021/06/15(Tue) 17:36:11
