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記事No.75758に関するスレッドです
★ (No Subject) / 大学１年生
こちらの問題が取っ掛かりからわかりません。
「sin(x/n)-(x/n)は任意のnについて連続だからその無限和も連続」というのは非自明ですか？
No.75758 - 2021/06/15(Tue) 22:49:05
☆ Re: / らすかる
非自明です。任意のnについて連続な関数の無限和が連続でない例があります。
例えば定義域[0,1]に対して
f(x)=Σ[n=1〜∞]{x^n-x^(n-1)}
とすると、x^n-x^(n-1)は任意のnについて[0,1]で連続ですが、
f(x)は
f(x)=-1　（0≦x＜1）
f(x)=0　（x＝1）
となり、連続ではありません。
No.75760 - 2021/06/15(Tue) 23:10:42
☆ Re: / 大学１年生
なるほど。確かにそうですね...
だとするとこの問題はどのように証明すればよいのでしょうか。
No.75761 - 2021/06/15(Tue) 23:21:37
☆ Re: / IT
一様収束が示せれば良いですね。
（一様収束関数列の性質）
{f[n](x)}が区間Ｉ上でf(x)に一様収束しているとする。
もし１点a∈Ｉですべてのf[n](x)が連続ならば、
極限関数f(x)もaで連続である。
No.75766 - 2021/06/16(Wed) 20:08:44
☆ Re: / 大学１年生
ありがとうございます。いろいろと考えてみます。
No.75806 - 2021/06/18(Fri) 01:02:35