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記事No.75856に関するスレッドです
★ 複素数 / みりん
2つの複素数z,wがw=1/z を満たしている。複素数平面において点zが4点1, i, -1, -iを頂点とする正方形の辺上を一周するとき,点wが描く図形を求め,複素数平面上に図示せよ。

この問題が分かりません。よろしくお願い致します。
No.75788 - 2021/06/17(Thu) 21:35:04
☆ Re: 複素数 / IT
2点1,iを結ぶ線分だけやってみました。

2点1,iを結ぶ線分上の点z=r(cosθ+isinθ)と極形式で表すと、
r(cosθ+sinθ)=1、0≦θ≦π/2
∴r=1/(cosθ+sinθ)
w=1/z なので　|w|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
argw=-argz=-θ
よってw の極方程式は　r=√2sin(-θ+π/4)　、-
π/2≦θ≦0


（極方程式でこう変換してはだめのようです）→　r=√2sinθ、-π/4≦θ≦π/4　

４つで花びらのような形になります。
No.75793 - 2021/06/17(Thu) 23:12:08
☆ Re: 複素数 / 関数電卓
図です。
No.75800 - 2021/06/17(Thu) 23:52:42
☆ Re: 複素数 / みりん
図までつけてくださりありがとうございます。
w=1/z なので　|w|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
この部分だけ詳しく教えていただくことは可能でしょうか。
また、他の3つの線分に関してもr(cosθ+sinθ)=1とおき、θの範囲を変えて解けば良いのでしょうか。
No.75812 - 2021/06/18(Fri) 09:16:49
☆ Re: 複素数 / IT
> w=1/z なので　|w|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
> この部分だけ詳しく教えていただくことは可能でしょうか。
この部分の　どこが分かりませんか？

> また、他の3つの線分に関してもr(cosθ+sinθ)=1とおき、θの範囲を変えて解けば良いのでしょうか。
この式のままθの範囲を変えると、元の線分を通る直線の一部のままになると思います。

それぞれ線分1,i を原点0を中心にπ/2、π、-π/2 回転して考えて、結果について回転しても良いのでは。
No.75847 - 2021/06/19(Sat) 05:13:58
☆ Re: 複素数 / みりん
ご返信頂きありがとうございます。
どうして絶対値をつけたら|w|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)になるのか、計算が分かりません。
また他の線分についても考えようと思うのですが1,iについてr(cosθ+sinθ)=1と置いた理由を教えて頂けないでしょうか。基本的なことから理解できておらずお手数おかけし、申し訳ありません。
No.75852 - 2021/06/19(Sat) 07:09:05
☆ Re: 複素数 / IT
> どうして絶対値をつけたら|w|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)になるのか、計算が分かりません。
> 1,iについてr(cosθ+sinθ)=1と置いた理由を教えて頂けないでしょうか。

最初から、まったく分からないということですね。
図を描いてみてください。(第１象限だけ）
No.75854 - 2021/06/19(Sat) 07:42:25
☆ Re: 複素数 / みりん
こちらでよろしいでしょうか。
No.75856 - 2021/06/19(Sat) 08:44:49
☆ Re: 複素数 / IT
線分1,i 上に点z を適当にとってOと結んで
ｚの絶対値ｒと偏角θを図示してください。
ｚからｘ軸に垂線を下ろしてください。
No.75857 - 2021/06/19(Sat) 09:15:24
☆ Re: 複素数 / みりん
描きました。
No.75861 - 2021/06/19(Sat) 10:24:15
☆ Re: 複素数 / IT
ｒcosθと i(rsinθ)を書き込むと　ｒcosθ+ rsinθ＝1　が分かります。

なお直線の極方程式が、数３の教科書にあると思いますので
それを使っても良いです。
No.75866 - 2021/06/19(Sat) 12:26:43
☆ Re: 複素数 / みりん
なるほど、そういうことだったのですね。
理解できました。
あと、|w|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
についてもご教授いただけますと幸いです。
No.75869 - 2021/06/19(Sat) 15:53:28
☆ Re: 複素数 / IT
r=1/(cosθ+sinθ)を代入しただけです。
w=1/z なので
　|w|=1/|z|=1/r=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)
　最後は三角関数の合成
No.75874 - 2021/06/19(Sat) 17:36:59
☆ Re: 複素数 / みりん
理解できました！
第2,3,4象限は自力で解いてみます。
長らくお付き合い頂きありがとうございました。
No.75881 - 2021/06/19(Sat) 20:15:47