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記事No.76040に関するスレッドです
★ 教えてください / ぴぴぴ
ラグランジュの未定乗数法を使って解く問題です。
財布の中に1200円ある。スーパーでリンゴとバナナを買おうと思う。リンゴは1個200円、バナナは1本100円であった。リンゴの個数をx、バナナの本数をyとする。効用（満足度）関数がU = \ xyのとき、効用を極大化するにはリンコゴとバナナをいくつ買ったらよいか答えよ。（なお消費税は無視する）

画像は自分で解いてみたものですが途中で計算出来なくなったのと、そもそも式が合ってるか分かりません。
No.76040 - 2021/06/23(Wed) 20:12:16
☆ Re: 教えてください / ぴぴぴ
間違えました。
U=√xyです。
No.76041 - 2021/06/23(Wed) 20:13:05
☆ Re: 教えてください / 関数電卓
ラグランジュの未定乗数法を用いて正確に立式されていませんし，途中式にもミスがあります。

極値を求めるべき式 U＝√(xy) …(1)
拘束条件 200x＋100y＝1200 ∴ 2x＋y＝12 …(2)
(1)(2)より
　F(x,y,λ)＝√(xy)−λ(2x＋y) …(3)
と置くと
　Fx＝y/(2√(xy))−2λ＝(1/2)√(y/x)−2λ＝0 ∴ λ＝(1/4)√(y/x) …(4)
　Fy＝x/(2√(xy))−λ＝(1/2)√(x/y)−λ＝0 ∴ λ＝(1/2)√(x/y) …(5)
(4)(5)より 2x＝y となり，これと(2)を連立させれば，極値を与える x,y が求まります。

本問は未定乗数法の練習問題なのでしょうが，解を求めるだけならば，下表のように Excel で計算すれば一発です。
No.76046 - 2021/06/23(Wed) 21:09:00
☆ Re: 教えてください / ぴぴぴ
y/(2√(xy))=(1/2)√(y/x)

(4)に出てくるこれのやり方を教えてください！
No.76057 - 2021/06/23(Wed) 22:37:41
☆ Re: 教えてください / 関数電卓
え〜？？
　y/(2√(xy))＝(√y)^2/(2√x√y)＝√y/2√x＝(1/2)√(y/x)
ですよ〜！

ところで「ラグランジュの未定乗数法」で検索すると数多のサイトがヒットしますが，私が最も分かりやすいと思うのは， こちら です。好みもありますが。
No.76058 - 2021/06/23(Wed) 23:09:55
☆ Re: 教えてください / ぴぴぴ
何度もすみません

‪√‬(xy)の微分はどうやってするのですか？
No.76065 - 2021/06/24(Thu) 12:24:44
☆ Re: 教えてください / 関数電卓
失礼！ 同じことなのですが，分かりにくい書き方をしてしまいました。
x で偏微分するときは y は定数として微分の外に出して
　(∂/∂x)√(xy)＝√y･(∂/∂x)√x＝√y･1/(2√x)＝(1/2)√(y/x) …(*)
です。
ただ，本問は，√x と √y の積だから(*)のように出来ますが sin(xy) などとなっていたらこの方法は使えません。一般式
　(∂/∂x)f(u(x,y))＝(d/du)f(u)･∂u/∂x
で習熟して下さい。
蛇足ながら，本問との対応は f(u)＝√u, u(x,y)＝xy です。
No.76066 - 2021/06/24(Thu) 14:03:18
☆ Re: 教えてください / ぴぴぴ
ありがとうございます😭🙏
1から説明していただき本当に感謝です。
No.76104 - 2021/06/25(Fri) 21:44:01