中学生です。画像の問題の解説を詳しくお願いします！書き込みは無視してください！
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No.76092 - 2021/06/25(Fri) 17:37:00
| ☆ Re: / X | | | (4)だけは難度が別格ですね。
(4)
AP=CQ=CR=AS=x[cm]
と置くと、△APS,△CQRは合同な正三角形であり
SP=QR=x[cm]
又、△BPQ,△DSRは合同な正三角形であり
PQ=RS=BP
=AB-x[cm]
=4-x[cm]
よって求める面積をUとすると
U=x(4-x)[cm^2] (A)
ということでxを求めることを考えます。
辺BDの中点をJとし、正四面体ABCD、
内接している球、四角形PQRSの
△ACJを含む平面による断面を考えます。
このとき,四角形PQRSの断面は辺AJ,CJ上に
端点を持つ線分となります。
この辺AJ,CJ上の端点をそれぞれP',Q'とすると
球の断面である円は△P'Q'Jの内接円となります。
(ここまではよろしいですか？)
このとき
P'Q'=PQ=4-x[cm]
又,
AP'=CQ'=(√3)x/2[cm]
AJ=CJ=AH=2√3[cm]
ですので
P'J=C'J=2√3-(√3)x/2[cm]
=(4-x){(√3)/2}[cm]
又、△P'Q'Jの内接円の半径を
aとすると
a=r=√(2/3)[cm]
以上から、△P'Q'Jの面積を2通りで
表すことにより、xについての
方程式を立てます。
まず,内接円の半径に注目することにより
(△P'Q'Jの面積)=(1/2)a(P'Q'+P'J+Q'J)
=(1/2)×{√(2/3)}(4-x)(√3+1) [cm^2]
=(1/√6)(4-x)(√3+1) [cm^2] (B)
一方、△P'Q'Jは二等辺三角形ですので
P'Q'の中点をKとすると△PJKは直角三角形
ですので、三平方の定理により
JK=√(P'J^2-P'K^2)
=√{(4-x){(√3)/2}}^2-{(4-x)/2}^2}
=(4-x)/√2 [cm^2]
よって
(△P'Q'Jの面積)=(1/2)×P'Q'×JK
={1/(2√2)}(4-x)^2 (C)
(A)(B)から
(1/√6)(4-x)(√3+1)={1/(2√2)}(4-x)^2
これより
2(4-x)(√3+1)=(√3)(4-x)^2
(√3)(4-x)^2-2(4-x)(√3+1)=0
(4-x){(√3)(4-x)-2(√3+1)}=0
よって
4-x=0又は(√3)(4-x)-2(√3+1)=0
なので
x=0[cm],4-2(√3+1)/√3[cm]
整理して
x=0[cm],2-2/√3[cm]
ここで条件からxは0[cm]ではないので
x=2-2/√3[cm]
これを(A)に代入して
U=(2-2/√3)(2+2/√3)[cm^2]
=4-4/3[cm^2]
=8/3[cm^2]
となります。
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
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No.76095 - 2021/06/25(Fri) 19:49:15 |
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