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記事No.76107に関するスレッドです
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同次系微分方程式
/ きなこ
引用
2y(dx/dy)=x+y
の解き方を教えてほしいです。
解答は((2y+x)^1/3)(y-x)^2/3=Cx^2
です。よろしくお願いします。
No.76086 - 2021/06/25(Fri) 13:20:14
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Re: 同次系微分方程式
/ X
引用
確認ですが
2y(dy/dx)=x+y
ではなくて
＞＞2y(dx/dy)=x+y
で問題は正しいのですか？
No.76087 - 2021/06/25(Fri) 13:42:15
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Re: 同次系微分方程式
/ きなこ
引用
申し訳ございません。
2y(dy/dx)=x+yです
よろしくお願いします。
No.76089 - 2021/06/25(Fri) 15:40:02
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Re: 同次系微分方程式
/ 関数電卓
引用
2yy'＝x＋y …(1)
y＝ux …(2) と置くと y'＝u'x＋u …(3)
(2)(3)を(1)に代入し順次変形すると
2ux(u'x＋u)＝(1＋u)x
2u(u'x＋u)＝1＋u
2uu'x＝1＋u−2u^2
{2u/(1＋u−2u^2}u'＝1/x …(4)
(4)の左辺を部分分数分解し整理すると
2{1/(2u＋1)＋1/(u＋1)}u'＋3/x＝0
両辺を積分し
log|2u＋1|＋2log|u−1|＋3log|x|＝C'
∴ (2u＋1)(u−1)^2･x^3＝C …(5)
u＝y/x を戻して，求める一般解は
(x＋2y)(x−y)^2＝C
No.76102 - 2021/06/25(Fri) 21:32:31
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Re: 同次系微分方程式
/ 関数電卓
引用
解曲線です。
No.76107 - 2021/06/25(Fri) 22:18:03
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Re: 同次系微分方程式
/ きなこ
引用
関数電卓さん
理解できました。わかりやすい解説誠にありがとうございます。
No.76108 - 2021/06/25(Fri) 23:42:39
