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記事No.76109に関するスレッドです
★ 同次系微分方程式 / きなこ
写真の同次系微分方程式の解き方をわかる方いましたら教えてほしいです。途中まで書いたのですが，その先どうすればいいかわかりません。
解答は
y=xexp(Cx+1)
です。よろしくお願いいたします。
No.76109 - 2021/06/25(Fri) 23:52:11
☆ Re: 同次系微分方程式 / WIZ
z を x の関数として e^z = y/x とおきます。
⇒ y = x(e^z)
⇒ dy/dx = (1+xz')(e^z)

dy/dx = -(y/x)log(x/y) = (y/x)log(y/x)
⇒ (1+xz')(e^z) = (e^z)log(e^z) = z(e^z)
⇒ 1+xz' = z
⇒ z'/(z-1) = 1/x
⇒ log(|z-1|) = log(|x|)+D (Dは積分定数)
⇒ z-1 = Cx (C = ±(e^D) つまりCは任意定数)
# C = 0も可。これは z'/(z-1) の分母を 0 とする z = 1 という特異解に相当。

よって、
y = x(e^z) = x(e^(Cx+1))
となります。
No.76118 - 2021/06/26(Sat) 11:23:37
☆ Re: 同次系微分方程式 / きなこ
理解できました。
丁寧な解説誠にありがとうございます。
No.76129 - 2021/06/26(Sat) 13:50:17