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記事No.76150に関するスレッドです
★ 第一階非斉次方程式(積分因子法) / きなこ
写真の右側のように
y'+xy/√(x^2+1)=x
を積分因子法で解いたのですが，自分の答えと解答が合いません。どこが間違っているかわかる方いたら教えて頂けないでしょうか。
解答は
y=((x^2+1)/3)+C/√(x^2+1)
です。よろしくお願いします。
No.76150 - 2021/06/27(Sun) 00:00:00
☆ Re: 第一階非斉次方程式(積分因子法) / WIZ
解答の y = (x^2+1)/3+C/√(x^2+1) は、微分方程式 y'+xy/√(x^2+1) = x を満たしません。
# y' = (2/3)x-Cx{(x^2+1)^(-3/2)}
# xy/√(x^2+1) = (x/3)√(x^2+1)+Cx/(x^2+1)

一方、スレ主さんの計算ですが、最後の最後でミスしています。
> y(e^√(x^2+1) = (e^√(x^2+1))(√(x^2+1)-1)+C
> y = √(x^2+1)-1+C
上記の最後は y = √(x^2+1)-1+C(e^(-√(x^2+1))) ですね。

そして、上記は微分方程式 y'+xy/√(x^2+1) = x を満たしています。
# y' = x/√(x^2+1)-{x/√(x^2+1)}C(e^(-√(x^2+1)))
# xy/√(x^2+1) = x-x/√(x^2+1)+{x/√(x^2+1)}C(e^(-√(x^2+1)))

・・・なので、解答が間違っているか、解答を含む問題文の写し間違いですかね。
ともかく、検算すれば気付けることなので、検算する癖を付けましょう!
No.76176 - 2021/06/27(Sun) 13:21:11
☆ Re: 第一階非斉次方程式(積分因子法) / きなこ
理解できました。
自分でも計算したところ，やはり教科書の解答が間違っていました。丁寧な解説誠にありがとうございます。
No.76177 - 2021/06/27(Sun) 13:35:56