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記事No.76243に関するスレッドです
★ 定係数2階線形微分方程式 / きなこ
(1)の問題を解いたのですが，これであっているか不安なので，どなたかわかる方いましたら教えて頂けないでしょうか。
左上が問題，左下が解答，右側が自分の解答です。
よろしくお願いします。
No.76223 - 2021/06/28(Mon) 00:55:42
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / WIZ
「定数係数2階線形斉次方程式(7.1)」とか、定数のX ,Y, Z の条件を書いてくれないと確認しようがないよね?
問題7.1とか問題7.2の情報を前提とした問題7.3なんでしょ?
No.76234 - 2021/06/28(Mon) 14:20:21
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / きなこ
申し訳ありません。書き忘れていました。(7.1)式は
y''+Py'+Qy=0
です。
問題7.3は問題7.1,7.2と全く違う問題で，独立しています。
No.76243 - 2021/06/28(Mon) 16:27:59
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / WIZ
先ず、スレ主さんの手書き暗号(!)の私による解読は以下の通り。
> 第1階線形斉次方程式は
> y'+P(x)y = 0
> よって y を w に置き換えて
> w'+P(x)w = 0
# 特に1行目の「第1」の部分は解読に自信がない。

幾つか疑問がある。
(1)何故いきなり y'+P(x)y = 0 とか出てくるのか?
画像の本の(7.1)式の解説の前後で求められている式なのか?
(2)問題文で定係数と書いてあるのに、何故 P(x) ?
まあ定数関数も x の関数なんだ! と言われれば、そうなのかもしれないが。

それで、
y[1]''+Py[1]'+Qy[1] = 0 ・・・・・(A)
y[2]''+Py[2]'+Qy[2] = 0 ・・・・・(B)
w = y[1]y[2]'-y[1]'y[2] ・・・・・(C)
から、y[1] と y[2] 関連の情報を消去していく方針で計算する。

(C)より
w' = (y[1]'y[2]'+y[1]y[2]'')-(y[1]''y[2]+y[1]'y[2]') = y[1]y[2]''-y[1]''y[2] ・・・・・(D)

(D)に(A)(B)を適用して y[1]'' と y[2]'' を消去
w' = y[1](-Py[2]'-Qy[2])-(-Py[1]'-Qy[1])y[2]
= P(y[1]'y[2]-y[1]y[2]')+Q(y[1]y[2]-y[1]y[2])
= -Pw
No.76249 - 2021/06/28(Mon) 18:12:44
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / きなこ
理解できました。解説ありがとうございます。
No.76261 - 2021/06/28(Mon) 23:39:40