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記事No.76398に関するスレッドです
★ 数２　積分 / Ｓｈｉｒｏ
さっき送らせていただいたのですが、写真が小さかったのでもう一度送らせていただきます。
すみませんでした。
No.76398 - 2021/07/04(Sun) 14:22:46
☆ Re: 数２　積分 / X
(1)
g(x)=x^2+2x
と置くと
g'(x)=2x+2
∴g'(0)=2
これはy=g(x)のグラフの原点における
接線の傾きが2であることを示しています。
一方、
h(x)=(1/2)x^2
と置くと
h'(x)=x
∴h'(0)=0
これはy=h(x)のグラフの原点における
接線の傾きが0であることを示しています。
よってy=f(x),y=axのグラフの共有点の個数は
(i)x≦0のとき
a＜2のとき2個
2≦aのとき1個
(ii)0＜xのとき
a≦0のとき0個
0＜aのとき1個

(i)(ii)をまとめると求める共有点の個数は
a≦0,2≦aのとき2個
0＜a＜2のとき3個

(2)
(1)の過程を使ってaについて場合分けして
S(a)を求めます。
(i)a≦0のとき
S(a)=∫[a-2→0]{ax-(x^2+2x)}dx
=[-(1/3)x^3+(1/2)(a-2)x^2][a-2→0]
=-(1/6)(a-2)^3
(ii)2≦aのとき
S(a)=∫[0→2a]{ax-(1/2)x^2}dx
=[(1/2)ax^2-(1/6)x^3][0→2a]
=2a^3-(4/3)a^3
=(2/3)a^3
(iii)0＜a＜2のとき
S(a)=∫[a-2→0]{ax-(x^2+2x)}dx+∫[0→2a]{ax-(1/2)x^2}dx
=(2/3)a^3-(1/6)(a-2)^3

(3)
(2)の結果を使ってS(a)についての増減表を書きます。
とはいっても(2)の(i)(ii)からS(a)は
a≦0において単調減少
2≦aにおいて単調増加
であることは微分せずとも式の形から明らかですので
実際にS'(a)を求めるのは
0＜a＜2のとき
になります。
差しあたって、S(a)の第二項を展開した後で
微分をしてみて下さい。

こちらの計算では求める最小値は
S(2/3)=16/27
となりました。
No.76404 - 2021/07/04(Sun) 16:22:38
☆ Re: 数２　積分 / IT
X さん、aの値によって、異なる共有点の個数は、２個、３個、２個　となりませんか？
No.76405 - 2021/07/04(Sun) 16:46:40
☆ Re: 数２　積分 / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Ｓｈｉｒｏさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.76404を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.76406 - 2021/07/04(Sun) 17:14:53
☆ Re: 数２　積分 / Ｓｈｉｒｏ
Ｘ様
とても詳しく解説していただいてどうもありがとうございました。
おかげでとてもよく理解することができました。

ＩＴ様もありがとうございました。
No.76416 - 2021/07/04(Sun) 20:50:56