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記事No.76401に関するスレッドです
★
空間ベクトル
/ 田中
引用
この問題の（3）を教えてください！
自分で解いたら√5/5-7/10になりましたが不安です
No.76401 - 2021/07/04(Sun) 14:50:07
☆
Re: 空間ベクトル
/ X
引用
(1)(2)(3)いずれも略解です。
(1)
△OBCにおいて余弦定理により
cos∠BOC=(OB^2+OC^2-BC^2)/(2OB・OC)=-1/2
又、条件から△OAB,△OCAは
∠AOB=∠COA=π/2
の直角二等辺三角形
∴
↑a・↑b=0 (A)
↑b・↑c=-1/2 (B)
↑c・↑a=0 (C)
(2)
前半)
条件から点Kは△ABCを含む平面上の点ですので
↑OK=x↑a+y↑b+z↑c (D)
但し
x+y+z=1 (E)
と置くことができます。
ここで条件から↑OKは△ABCを含む平面の
法線ベクトルになっているので
↑OK・↑AB=0 (F)
↑OK・↑CA=0 (G)
(D)(F)より
(x↑a+y↑b+z↑c)・(↑b-↑a)=0
x|↑a|^2+(y↑b+z↑c-↑b)・↑a-↑b・(y↑b+z↑c)=0
x|↑a|^2+(y↑b+z↑c-↑b)・↑a-↑b・(y↑b+z↑c)=0 (F)'
(D)(G)より
(x↑a+y↑b+z↑c)・(↑a-↑c)=0
x|↑a|^2+(y↑b+z↑c-↑c)・↑a-↑c・(y↑b+z↑c)=0 (G)'
(F)'(G)'に(A)(B)(C)などを代入すると
2x-2y+z=0 (F)"
2x+y-2z=0 (G)"
(E)(F)"(G)"を連立で解いて
(x,y,z)=(1/5,2/5,2/5)
∴↑OK=(1/5)↑a+(2/5)↑b+(2/5)↑c
後半)
前半の結果から
|↑OK|^2=9/25-4/25=1/5
∴|↑OK|=1/√5
(3)
(2)の結果から
↑OK・(↑AP+↑BP+↑CP)=↑OK・(3↑OP-↑a-↑b-↑c)
≦↑OK・(3↑OK/|↑OK|-↑a-↑b-↑c)
=(1/5)(↑a+2↑b+2↑c)・{(3/√5)(↑a+2↑b+2↑c)-↑a-↑b-↑c}
=(1/5)(↑a+2↑b+2↑c)・{(3/√5-1)↑a+(6/√5-1)↑b+(6/√5-1)↑c}
=(1/5){(3/√5-1)+2(6/√5-1)}
=(1/5)(15/√5-3)
=(3/5)(√5-1)
No.76418 - 2021/07/04(Sun) 21:01:51
