x^2+y^2=1のもとで f(x,y)=x^3+y^3の最大値と最小値を求める計算です。
答えは（プラスマイナス1/√2,プラスマイナス1/√2)のとき最大値は1/√2
(マイナスプラス1/√2,マイナスプラス1/√2)のとき最小値は-1/√2
これで合っていますか？
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No.76510 - 2021/07/08(Thu) 05:14:10
| ☆ Re: 条件付き最適化問題です。 / 関数電卓 | | | fx＝x(3x−2λ)＝0 から x＝0, 2λ/3
fy＝y(3y−2λ)＝0 から y＝0, 2λ/3
x^2＋y^2＝1 とから
(x,y)＝(0,±1),(±1,0),(±1/√2,±1/√2)
の６点が極値の候補で，ここから増減を調べて最大･最小を決定する。
…のだが，この作業は大変。
こんなことをするくらいなら，最初から
f(x,y)＝x^3＋y^3 …(1), x^2＋y^2＝1 …(2)
x＋y＝u と置くと，(2)とから −√2≦u≦√2 …(3)
u^2＝x^2＋2xy＋y^2＝1＋2xy ∴ xy＝(u^2−1)/2
f(x,y)＝(x＋y)(x^2−xy＋y^2)＝u(1−(u^2−1)/2)＝−u^3/2＋3/2･u＝f(u) …(4)
の(3)での最大･最小を微分で求める方が早い。
※ x＝cosθ，y＝sinθ と置く方法もある。
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No.76514 - 2021/07/08(Thu) 15:54:10 |
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