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記事No.76533に関するスレッドです
★
微積分
/ anonymous
引用
(3)の範囲についての質問なのですが、x=rcosθ,y=rsinθとするのか、x=1/2+rcosθ,y=rsinθとして媒介変数表示すればいいのか、どちらが正しいでしょうか？
もし可能であれば、(3)の模範解答を作成して頂きたいです。
よろしくお願い致します。
No.76533 - 2021/07/09(Fri) 15:35:44
☆
Re: 微積分
/ ast
引用
もっとふつうに
∫_[0,1] x e^(x^2) {∫_[0,√(x-x^2)] y e^(y^2) dy} dx
とかでいいのでは?
# ちゃんとは検討していない.
No.76534 - 2021/07/09(Fri) 16:18:10
☆
Re: 微積分
/ X
引用
前者の変換だと以下の通りです。
x=rcosθ,y=rsinθ
と置くと、
D={(r,θ)|0≦θ≦π/2,0≦r≦cosθ}
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→cosθ](r^3){e^(r^2)}sinθcosθdrdθ
ここで
r^2=t
と置くと
rdr=(1/2)dt
で
(与式)=(1/2)∫[θ:0→π/2]{∫[t:0→(cosθ)^2](te^t)dt}sinθcosθdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/2]{[te^t][t:0→(cosθ)^2]-∫[t:0→(cosθ)^2]e^tdt}sinθcosθdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
=(1/2)∫[θ:0→π/2]sinθcosθdθ-(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
=(1/4)∫[θ:0→π/2]sin2θdθ-(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
=1/4-(1/2)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^2}e^{(cosθ)^2}}sinθcosθdθ
ここで
(cosθ)^2=u
と置くと
sinθcosθdθ=-(1/2)du
で
(与式)=1/4+(1/4)∫[u:1→0](1-u)(e^u)du
=1/4+(1/4)[(1-u)(e^u)][u:1→0]+(1/4)∫[u:1→0](e^u)du
=1/4+(1/4)(1+1-e)
=(3-e)/4
…と解きましたが、astさんの方針の方が簡単ですね。
No.76535 - 2021/07/09(Fri) 16:26:45
☆
Re: 微積分
/ 関数電卓
引用
ast さんの方法で計算すると，結果は
(3−e)/4
となるのですが…。
y の積分，
x の積分
No.76539 - 2021/07/09(Fri) 20:00:26
☆
Re: 微積分
/ X
引用
＞＞関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞anonymousさんへ
ごめんなさい。関数電卓さんの仰る通りです。
No.76535を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.76542 - 2021/07/09(Fri) 21:26:52
