[ 掲示板に戻る ]
記事No.76641に関するスレッドです
★ 楕円の周長の下限 / 高校三年生
『長軸 2a 、短軸 2b (0<b<a) の楕円の周長を L とすると、

　L > (a+b)π

　が成り立つことを示せ。』

夏休みの宿題です。有名問題らしいのですが、
参考書や問題集を漁っても、見つかりませんでした。

ぜひ、解法をご教示ください。
よろしくお願いいたします。 m(_ _)m
No.76606 - 2021/07/12(Mon) 12:39:40
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
> 夏休みの宿題
「いろいろ調べ学習をしてみなさい」という意図なのでしょうが，高三生が太刀打ち出来る易しい問題ではなさそう…
ここ とか ここ の下の方にある Gauss-Kummer の公式によるのでしょうが，導出過程は，私もぱっと見でナルホドと思うものではありません。
No.76607 - 2021/07/12(Mon) 13:39:10
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
関数電卓さん、返信ありがとうございます。

数学の先生曰く、入試の過去問に類似問題があるそうで、
高校数学の範囲で、証明可能との事でした。

どうやるんだろうか・・・。
No.76608 - 2021/07/12(Mon) 13:49:51
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
> 入試の過去問に類似問題があるそう
わかったら大学名（できたら実施年）を教えて下さい。
No.76612 - 2021/07/12(Mon) 16:17:31
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
>わかったら大学名（できたら実施年）を教えて下さい。

了解しました。
No.76613 - 2021/07/12(Mon) 16:21:33
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
こんな方針でどうでしょうか？

簡単のため、b=1 として考える。
L＝4∫[t=0,π/2]√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)dt：この公式は既知とします。

裏返して足すテクニックを使う。
∫[t=0,π/2](√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)dt
=-∫[s=π/2,0](√((a^2)(cos(π/2-s))^2+(sin(π/2-s))^2)ds
=∫[s=0,π/2](√((a^2)(sin(s))^2+(cos(s))^2)ds なので

L＝2∫[t=0,π/2]{√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)+√((a^2)(sint)^2+(cost)^2)}dt

ここで、被積分関数　√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)+√((a^2)(sint)^2+(cost)^2)≧a+1であり、等号が成り立たないtもある。を示せば良い。
両辺を２乗して比較する。・・・　

（これで証明できることを手書き計算で確認しました。夏休みの宿題とのことなので、残りは自分で完成させてください。）
No.76624 - 2021/07/12(Mon) 22:20:14
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
IT さん
最後まで詰めてはいませんが，ご提示の方法で行けそうですね。
No.76634 - 2021/07/13(Tue) 00:09:40
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
IT さん、返信ありがとうございます。

>この公式は既知とします。

曲線の長さの「媒介変数表示」と「離心近点角」とのコンボですか・・・。

>裏返して足すテクニックを使う。

周期関数にはこの技が利くんですね。類題探して身に付けます。

>両辺を２乗して比較する。・・・　

最後は、「相加・相乗平均の不等式」でバッチリ決まりますね。

積分問題なのに、微分すら不要とは・・・。
いやはや、感嘆しかないです。

ご教示いただき、誠に、ありがとうございました。m(_ _)m
No.76639 - 2021/07/13(Tue) 05:58:45
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
種あかしをすると、グラフ作成ソフト（grapes) で y=√((acosx)^2+(sinx)^2),y=1,y=a,y=(a+1)/2を表示して、ずらしたりしてみました。学校や入試本番では使えませんが、いろいろ調べるには便利です。

https://www.grapes.jp/
No.76640 - 2021/07/13(Tue) 06:25:25
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
(grapesのグラフ途中）
No.76641 - 2021/07/13(Tue) 06:37:51
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
>種あかしをすると、・・・

何と！そんな便利なソフトがあったんですか・・・。
今度、使ってみます。
No.76642 - 2021/07/13(Tue) 06:46:00
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
　> 最後は、「相加・相乗平均の不等式」でバッチリ決まりますね。

どんなふうになりましたか？

私は、ごりごり計算して(cost)^2 の２次関数の範囲内最小値の評価によりました。
No.76643 - 2021/07/13(Tue) 11:35:28
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
>どんなふうになりましたか？

√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)+√((a^2)(sint)^2+(cost)^2)≧a+1
両辺を2乗して整理すると、

√{(a^2)(cost)^2+(sint)^2}・√{(a^2)(sint)^2+(cost)^2} ≧ a
さらに、両辺を2乗して、

{(a^2)(cost)^2+(sint)^2}・{(a^2)(sint)^2+(cost)^2} ≧ a^2
となるので、これをめざす。

【左辺】 = (a^4+1)・(cost)^2・(sint)^2 + (a^2)・{(sint)^4+(cost)^4}
　　　　　= (a^4+1)・(cost)^2・(sint)^2 + (a^2)・{1- 2・(sint)^2・(cost)^2}
　　　　　= (a^2-1)^2・(cost)^2・(sint)^2 + (a^2)
　　　　　≧ a^2

こんな感じですが。・・・すいません。
「相加・相乗平均の不等式」は関係なかったです。
No.76646 - 2021/07/13(Tue) 14:07:28
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
なるほど、それなら分かりました。
No.76660 - 2021/07/13(Tue) 20:11:54
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
√ の近似
　x が小さいとき　√(1＋x)≧1＋(1/2)x
を用いるので，高校数学の範囲外ではありますが，以下のような方法も可能です。ワープロを打つのが大変だったため，手書きで済みません。
高校三年生さん，ご参考まで。
No.76667 - 2021/07/13(Tue) 23:57:39
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
楕円の周長などで検索すると下記のような記事が見つかりました。精度（？）は確認してないですが参考までにお知らせします。

関孝和の楕円周を求める近似式
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/analysis/seki/seki.pdf

楕円の周長を求める公式を考える
https://note.com/tetsuo123/n/n4c2b8dfb8328

関孝和の楕円の研究について(京大数理解析研究所講究録)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1064-6.pdf
No.76668 - 2021/07/14(Wed) 01:43:52
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
関数電卓 さん

>以下のような方法も可能です。

なるほど。
マクローリン級数への展開を利用するわけですか・・・。
参考になります。m(_ _)m

IT さん

>精度（？）は確認してないですが参考までにお知らせします。

いろいろ研究がなされているんですね。
拝読いたします。m(_ _)m
No.76670 - 2021/07/14(Wed) 06:23:48