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記事No.76764に関するスレッドです
★ ロピタルの定理 / のあ
自力で解いてみたら(1)1 (2)1/2 (3)e (4)0 という解が出たのですが不安なので合っているか見て頂きたいです。
また、(5)は分からなかったので解き方と解を教えていただきたいです。
No.76764 - 2021/07/18(Sun) 21:28:25
☆ Re: ロピタルの定理 / X
＞＞(1)〜(4)0
こちらの計算でも同じ結果になりました。

(5)
(与式)=lim[x→∞]{arcsin(1/x^2)}/(1/x^2)
と変形してロピタルの定理を適用します。
No.76765 - 2021/07/19(Mon) 05:55:35
☆ Re: ロピタルの定理 / のあ
確認ありがとうございます。
(5)について、私もそこまで考えたのですが、arcsin(1/x^2)の微分で詰まってしまって出来ませんでした…。arcsin(1/x^2)は微分したらどのようになりますか？
No.76768 - 2021/07/19(Mon) 08:20:30
☆ Re: ロピタルの定理 / ヨッシー
y=asin(x) （asin は sin の逆関数）
とすると、
　x＝sin(y)
　dx/dy＝cos(y)
　dy/dx＝1/(dx/dy)＝1/cos(y)
x＝sin(y) の定義域は -π/2≦ｙ≦π/2 なので、cos(y)≧0
よって、
　cos(y)＝√(1−x^2)
　dy/dx＝1/√(1−x^2)　←これは公式
これを用いて、
　asin(1/x^2)＝(-2/x^3)/(1−1/x^4)
また
　(1/x^2)’＝-2/x^3
よって
　(与式)＝lim[x→∞]1/(1−1/x^4)＝1
No.76772 - 2021/07/19(Mon) 09:53:35
☆ Re: ロピタルの定理 / WIZ
(5)についてはロピタルの定理を使う程でもないと思うけど、
「使え」と指示されているのなら、ヨッシーさんの解法になるかな。

以下の解法の方が見通しが良いかも。

y = arcsin(1/(x^2)) とおくと、sin(y) = 1/(x^2) つまり、x^2 = 1/sin(y) です。
逆正弦関数の値域は代表値をとって -π/2 ≦ y ≦ π/2 とすると、
x→∞ のとき sin(y)→+0 つまり y→+0 だから、
lim[x→∞]{(x^2)arcsin(1/(x^2))} = lim[y→+0]{y/sin(y)} = 1
# lim[y→+0]{y/sin(y)} = lim[y→+0]{1/cos(y)} としてロピタルの定理を使ったことにするとか。

あと、ヨッシーさんの書き込みで、重箱の隅ですが幾つか指摘させてください。

> x＝sin(y) の定義域は -π/2≦ｙ≦π/2 なので、cos(y)≧0
逆正弦関数の値域の代表値を取っているのだと思いますので、
「x＝sin(y) の定義域」という表現に違和感があります。
「y=asin(x) （asin は sin の逆関数）」の直後ぐらいに代表値である旨記述すべきでは?

> asin(1/x^2)＝(-2/x^3)/(1−1/x^4)
「asin(1/x^2)'＝(-2/x^3)/(1−1/x^4)」の書き間違いですよね?

失礼しました。
No.76773 - 2021/07/19(Mon) 13:00:08
☆ Re: ロピタルの定理 / ヨッシー
あ、色々すみません。
No.76787 - 2021/07/19(Mon) 20:01:53
☆ Re: ロピタルの定理 / のあ
なるほど！理解しました、詳しいご説明ありがとうございます！
No.76794 - 2021/07/19(Mon) 21:21:38