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記事No.76780に関するスレッドです
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πの近似値
/ re
引用
こちらの式の証明を知っている方いますか?
No.76780 - 2021/07/19(Mon) 18:16:11
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Re: πの近似値
/ ast
引用
(無限根号ならまだしも有限個の多重根号だし) 単純な数値計算の話ではあるかもしれませんが, 論理的には
証明
すべき点は何もない, と思います. 関数電卓か何かで計算させればよいのでは.
# それとも何か数値解析的な話題に関する質問なのだろうか……
参考:
WolframAlpha
No.76782 - 2021/07/19(Mon) 18:56:00
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Re: πの近似値
/ re
引用
質問の仕方が悪かったです。
√2の部分がn個あるとき、512の部分は2^nになるはずで、nを∞に近づけたときπに収束するはずなんですが、それの証明ってありますかね?
No.76788 - 2021/07/19(Mon) 20:17:08
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Re: πの近似値
/ らすかる
引用
2cos(π/8)=√2
2cos(π/16)=√(2+2cos(π/8))=√(2+√2)
2cos(π/32)=√(2+2cos(π/16))=√(2+√(2+√2))
2cos(π/64)=√(2+2cos(π/32))=√(2+√(2+√(2+√2)))
・・・
だから
2sin(π/16)=√(2-2cos(π/8))=√(2-√(2+√2))
2sin(π/32)=√(2-2cos(π/16))=√(2-√(2+√(2+√2)))
2sin(π/64)=√(2-2cos(π/32))=√(2-√(2+√(2+√(2+√2))))
2sin(π/128)=√(2-2cos(π/64))=√(2-√(2+√(2+√(2+√(2+√2)))))
・・・
よって
(2^3)√(2-√(2+√2))=(2^4)sin(π/2^4)
(2^4)√(2-√(2+√(2+√2)))=(2^5)sin(π/2^5)
(2^5)√(2-√(2+√(2+√(2+√2))))=(2^6)sin(π/2^6)
(2^6)√(2-√(2+√(2+√(2+√(2+√2)))))=(2^7)sin(π/2^7)
・・・
なので
lim[n→∞](2^n)sin(π/2^n)=lim[n→∞]π・sin(π/2^n)/(π/2^n)=π
によりπに収束。
No.76810 - 2021/07/20(Tue) 07:23:38
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Re: πの近似値
/ re
引用
ありがとうございます。
No.76853 - 2021/07/22(Thu) 11:20:21
