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記事No.76815に関するスレッドです
★ 積分 / ボタン
(4)の計算の仕方がわかりません。
r/a=tanθと置換してみたのですが、うまくいきません。ご教授お願いします。
No.76815 - 2021/07/20(Tue) 11:45:20
☆ Re: 積分 / ast
> r/a=tanθと置換
(逐次積分に落とさない限り) 1次元の積分ではないので, このような置換はそもそも意味を為していないのでは.

まず, 3次元極座標に変換するとどうなりますか? (被積分函数と各変数に関する積分範囲を明示的に述べてください)
極座標変換さえすればその計算自体は (より) 容易になるはずです.
# 答えは π^2 a^3 になるかな?
No.76817 - 2021/07/20(Tue) 14:31:57
☆ Re: 積分 / 編入受験生
> (4)の計算の仕方がわかりません。
> r/a=tanθと置換してみたのですが、うまくいきません。ご教授お願いします。

r/a = tanθとおくのは、よいです。
しかし、この積分は空間の積分なので、
そのような置換積分を用いるためには、まず問題の重積分を累次積分（∫dx∫dy∫dzのような形）に変えないといけません。
しかし、r = √(x^2+y^2+z^2)だから、普通のxyz座標系で考えると極めて式が複雑になります。
そこで、問題の積分を３次元極座標(R,θ,φ)での積分に変換することを考えます。空間座標を三次元極座標に変換すると,
x = Rsinθcosφ,y = Rsinθsinφ,z = Rcosθから、
r^2 = R^2(cos^2θ+sin^2θ(cos^2φ+sin^2φ)) = R^2、
またxyz座標系と３次元極座標の体積率は、R^2sinθだから
(ヤコビアンで求めてもいいし面積素片を考えて求めてもいい)、問題の積分は∫1/(1+R^2/a^2)^2R^2sinθdRdθdφと積分変換できる。
ここで、R方向、θ方向、φ方向の積分範囲がそれぞれ定数で与えられたとすると、
∫1/(1+R^2/a^2)^2R^2sinθdRdθdφ = ∫R^2/(1+R^2/a^2)^2dR∫sinθdθ∫dφと累次積分に置き換えることができる。
あとは、∫R^2/(1+R^2/a^2)^2dRをR/a = tantとおいて、
置換積分すると、∫R^2/(1+R^2/a^2)^2dR = ∫a^3sin^2tdt
= a^3∫(1-cos2t)dt/2 = [(a^3/2)(t-sin2t/2)],
ここで、arctan(R/a) = tで、sin(2t) = √(1-cos^2(2t))
= 2(R/a)/((R/a)^2+1)だから、
∫R^2/(1+R^2/a^2)^2dR = [(a^3/2){arctan(R/a)-(R/a)/((R/a)^2+1)}]となる。実際右辺を微分すると左辺の被積分関数に一致することを確かめることができる。
残りの∫sinθdθ∫dφ = [-cosθ][φ]∴
∫1/(1+R^2/a^2)^2R^2sinθdRdθdφ =
[(a^3/2){arctan(R/a)-(R/a)/((R/a)^2+1)}][-cosθ][φ]のようにもとめることができる。
あとは任意の積分範囲を文字を用いて表せば、
（４）を任意の積分範囲で積分できたことになる。
No.76878 - 2021/07/23(Fri) 02:17:49
☆ Re: 積分 / 編入受験生
続きです。

ここで、積分範囲は空間全体だから、
0 <= R <= ∞, 0 <= θ <= π, 0 <= φ <= 2πの範囲で積分すればいいことがわかる。
あとは、単に上記の積分に積分範囲を代入するのと簡単な極限の計算をするだけなので、自力で確認しておいてください。
答えは、上の方がおっしゃられたようにπ^2a^3となります。
No.76879 - 2021/07/23(Fri) 02:32:04