先日も質問させていただいたのですが、詳細な解法が知りたいです。
完全解u(t, x) = f(t)g(x)を求めてから解こうとしたのですが一般解までたどり着けません。
他の解法がございましたら教えていただきていです。
（以下の問題(2)）
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No.76890 - 2021/07/23(Fri) 10:21:26
| ☆ Re: 偏微分方程式について / 関数電卓 | | | 前回のレスの後半の方法です。
ξ,ηは打ち込むのが大変なので u,v を変数とし，u(t,x) を F(t,x) と書くことにします。
また，Ft＝∂F/∂t, Fxx＝(∂^2/∂x^2)F 等と，F の右側文字で偏微分を表すことにします。小さな添え字にしませんのでご了解下さい。
解くべき方程式
Fttt＋Fxxx＝0 …(1)
t＋x＝u(t,x), t−x＝v(t,v) …(2)
と変数変換すると，
∂u/∂t＝1, ∂u/∂x＝1, ∂v/∂t＝1, ∂v/∂x＝−1 …(3)
だから，
Ft＝Fu∂u/∂t＋Fv∂v/∂t＝Fu＋Fv …(4) (∵(3))
Fx＝Fu∂u/∂x＋Fv∂v/∂x＝Fu−Fv …(5)
(4)(5)をさらに微分していくと，
Ftt＝Fuu＋2Fuv＋Fvv …(6)
Fxx＝Fuu−2Fuv＋Fvv …(7)
Fttt＝Fuuu＋3Fuuv＋3Fuvv＋Fvvv …(8)
Fxxx＝Fuuu−3Fuuv＋3Fuvv−Fvvv …(9)
(8)(9)を(1)に代入し
Fttt＋Fxxx＝2(Fuuu＋3Fuvv)＝0 …(10)
v＝(√3)w …(11) として(10)は
∂/∂u(Fuu＋Fww)＝0
∴ Fuu＋Fww＝G(w) (G(w)は w の任意関数) …(12)
(12)の解を(11)(2)で t,x に戻したものが(1)の一般解である。
※ (12)は ポアソンの方程式 なので，解法はネット内にあふれています。
肩透かしのようなレスですが，初期条件，境界条件が具体的に与えられないと，これ以上先に進めません。
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No.76900 - 2021/07/23(Fri) 13:24:48 |
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