この問題の解答解説をお願いします。
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No.76912 - 2021/07/23(Fri) 18:29:56
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | > この問題の解答解説をお願いします。
困っていらっしゃるようなので、手短に説明します。
[1]
S_{n+1} - 3S_{n} = 2^{n+1} - 1 ...(1)
と(1)のn = n-1とした式
S_{n} - 3S_{n-1} = 2^{n} - 1 ...(2)
ここで,(1) - (2)より,
a_{n+1}-3a_{n} = 2^{n}...(3)から,
a_{n+1} = 3a_{n} + 2^{n}...(4)
[2]
(4)から,
b_{n+1} = a_{n+1}/2^{n+1} = 3a_{n}/2^{n+1} + 1/2
= 1/2(3a_{n}/2^{n}+1) = 1/2(3b_n+1).
ここでb_{n+1} - r = 3/2(b_n - r)とおけたとすると,
r = -1だから,
求める一般項{b_n} = (3/2)^n-1 ただし, b_1 = 1/2とおいた.
[3]
[2]から, a_n = 3^n - 2^nなので,
a_{100} = 3^{100} - 2^{100} = (4-1)^{100} - (2^2)^{50}
4^{100}+(100,99)4^{99}(-1) + (100,98)4^{98}(-1)^{2}+ ... + (100,1)4^{1}(-1)^{99}+(-1)^{100} - (4)^{50} = 4K + (-1)^{100} = 4K + 1から余りは１である.
ここで,(n,m)は二項係数,Kは任意の整数.
少し補足をすると,3^{100}を(4-1)^{100}とみなして,二項展開すると4を少なくとも一つはもう項と一つも持たない(-1)^{100}の和に展開できる,また2^{100} = 4^{50}だから,
結局任意の整数Kを用いて,3^{100} - 2^{100}は4K+(-1)^100とおける.ここで(-1)^{100}は1だから4K+1と表示でき,
これは4で割った余りが１であることに他ならない.
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No.76941 - 2021/07/25(Sun) 04:01:07 |
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