⑴からわからないです
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No.76918 - 2021/07/24(Sat) 13:55:13
| ☆ Re: ラグランジュ / 編入受験生 | | | > ⑴からわからないです
1.は頭の中でイメージしましょう.
点(x,y,z)を通るx軸に平行な直線を頭の中で引いてみてください。その直線が球面を切り取る線分の長さは,2|x|のはずです。
厳密な論証としては以下のベクトル方程式Pで表された直線と
球面の共有点を求め、それらの間の距離を出せばよいです.
実際, 直方体Rの各辺は各軸に平行なのだから,
頂点(x,y,z)を結ぶ直方体Rの三つの辺のうちx軸に平行な直線のベクトル方程式P_xは,P_x - (x,y,z) = t(1,0,0)とおけるので,
P_x = (x+t,y,z)となる.
いま,このベクトル方程式があらわす直線と球面との共有点をもとめると,
すなわち(x+t)^2+y^2+z^2 = 1..(1)である.
また,(x,y,z)は球面上の点だから,x^2+y^2+z^2 = 1..(2)であるので,
(1)から(2)をひくと,(x+t)^2 - x^2 = 0.
これを解くと,すなわちt^2 +2xt = t(t+2x) = 0より,
t = 0, -2xから,二つの共有点の間の距離d_xは,
d_x = |(x,y,z) - (-x,y,z)| = |(2x,0,0)| = √(4x^2) = 2|x|となるから, 直方体Ｒのx軸に平行な辺の長さは2|x|.
同様にもとめると,y軸に平行な辺の長さは2|y|,z軸に平行な辺の長さは2|z|であることがわかる.
よって, f(x,y,z) = 2|x|2|y|2|z| = 8|xyz|.
2. 頂点(x,y,z)は半径一の球面上の点なのだから,
x^2+y^2+z^2 = 1
3.球面の球対称性を考えれば,第一象限のみについて考えるだけでよいから,f(x,y,z) = 8xyz(x,y,z >= 0). 第一象限とはx,y,z>0となる部分.
よって極値関数が8xyz、拘束条件がx^2+y^2+z^2 = 1のもとで,
ラグランジュの未定乗数法を用いて求めればいい.
ここからは自分でできるはずなので、自力で頑張ってください.一応ラグランジュの未定乗数法の式をかいておくと,
F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - 1とおいて,
φ(x,y,z,λ) = f(x,y,z) - λF(x,y,z)とおくとき,
φ_x = φ_y = φ_z = φ_λをみたす(x,y,z)が極値の候補である.
また,x,y,z >= 0という条件を見落とさないように.
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No.76940 - 2021/07/25(Sun) 03:05:19 |
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