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記事No.76956に関するスレッドです
★ 集合の濃度 / りこ
この集合の濃度が自然数全体の集合の濃度と等しいか実数全体の集合の濃度と等しいか教えて下さい。
No.76955 - 2021/07/25(Sun) 17:56:30
☆ Re: 集合の濃度 / りこ
画像を貼り忘れました。すみません。
No.76956 - 2021/07/25(Sun) 17:57:50
☆ Re: 集合の濃度 / IT
「ベルンシュタインの定理」は、既知ですか？
No.76959 - 2021/07/25(Sun) 19:13:34
☆ 集合の濃度 / りこ
ベルンシュタインの定理は習いました。
全単射をどのように構成すれば良いかわかりません。
No.76960 - 2021/07/25(Sun) 19:21:27
☆ Re: 集合の濃度 / IT
ベルンシュタインの定理を使っていいなら、全単射を具体的に構成しなくても、
その集合から実数全体の集合への単射と逆向きの単射を構成できればいいと思います。

ベルンシュタインの定理を確認してください。
No.76961 - 2021/07/25(Sun) 19:32:11
☆ Re: 集合の濃度 / りこ
ありがとうございます。確認します！
No.76966 - 2021/07/25(Sun) 20:24:11
☆ Re: 集合の濃度 / IT
具体的な全単射を構成するなら

例えばRから{x∈R:x＜0}ヘの全単射g(x)を構成して
xが自然数でないときはf(x)=g(x)とし、
xが自然数のとき
　奇数のときは、自然数に順に対応させ
　偶数のときは、{x∈R:x＜0}の空いた穴を順に埋めます。

f(1)=1とし、空いた穴をf(2)=g(1) で埋める。
その穴をf(4)=g(2) で埋める。
f(3)=2とし、その穴をf(6)=g(3)で埋める。
f(5)=3とし、・・・

これを繰り返す。

グラフを描いてみるとイメージしやすいと思います。
No.76967 - 2021/07/25(Sun) 21:04:09