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記事No.77027に関するスレッドです
★ (No Subject) / kkk
自然数nについて、y≧nxおよびy≦2n^(2)-x^(2)を満たす格子点の総数をnで表せ。という問題において、求める格子点の個数が写真の先で求められる理由がわかりません。
詳しく教えてほしいです。お願いします。
No.77027 - 2021/07/28(Wed) 12:17:43
☆ Re: / X
まず
問題の領域である
y≧nx,y≦2n^2-x^2
の境界線である
直線
y=nx
と
放物線
y=2n^2-x^2
の上の点で、x座標が整数であるものは
全て格子点であることに注意すると
問題の領域内の
直線
x=k (kは整数) (A)
上の格子点は
点(k,nk),(k,2n^2-k^2)
を端点としていますので、
点(k,nk)
が
点(k,2n^2-k^2)
の下側にあることに注意すると
(A)の上の格子点の数は
(2n^2-k^2)-nk+1

ここで
nx=2n^2-x^2
をxの方程式として解くと
x=-2n,n
となることから
格子点のx座標の範囲は
-2n≦x≦n
以上からご質問の式を得ます。
No.77028 - 2021/07/28(Wed) 19:09:43
☆ Re: / 関数電卓
ご参考まで
No.77029 - 2021/07/28(Wed) 20:45:30
☆ Re: / kkk
納得しました。ありがとうございます。
因みに上記のΣ計算はどのようにしたら
良いでしょうか。具体的にお願いします。
No.77035 - 2021/07/29(Thu) 12:04:26
☆ Re: / 関数電卓
　Σ[k＝−2n〜n](2n^2−k^2−nk＋1) …(1)
j＝k＋2n と置くと k＝j−2n
(1)＝Σ[j＝0〜3n](2n^2−(j−2n)^2−n(j−2n)＋1)
　　＝Σ[j＝0〜3n](−j^2＋3nj＋1)　…(2)
(2)の第1項の和＝−(1/6)3n(3n＋1)(6n＋1) …(3)
(2)の第2項の和＝3n･(1/2)3n(3n＋1) …(4)
(2)の第3項の和＝3n＋1 …(5) ← 3n ではないので注意 j＝0 があるから
(3)＋(4)＋(5)＝(1/2)(3n＋1)(3n^2−n＋2)
No.77036 - 2021/07/29(Thu) 14:28:33
☆ Re: / kkk
j＝k＋2n と置くところは何故、このように置くのでしょうか？
No.77037 - 2021/07/29(Thu) 16:25:26
☆ Re: / 関数電卓
> j＝k＋2n と置くところは何故
Σ[k＝−2n〜n] のままでは，教科書にある
　Σ[k＝1〜n]k＝(1/2)n(n＋1)，Σ[k＝1〜n]k^2＝(1/6)n(n＋1)(2n＋1)
等の公式がパッと使えませんよね。これらを使えるようにするための変換です。
さらに，
　Σ[j＝0〜n]j＝Σ[j＝1〜n]j，Σ[j＝0〜n]j^2＝Σ[j＝1〜n]j^2
で便利なので，j＝k＋2n としました。
上記したように
　Σ[j＝0〜n]1＝n＋1　← 1 を n＋1 回加える
だけ注意が必要です。
No.77038 - 2021/07/29(Thu) 16:43:57
☆ Re: / kkk
ありがとうございます。理解できました。
No.77044 - 2021/07/29(Thu) 21:51:25