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記事No.77123に関するスレッドです
★ (No Subject) / kkk
以下の問題の(2)が分かりません。
図などもあると嬉しいのですが、わかりますか？
No.77123 - 2021/07/31(Sat) 17:26:35
☆ Re: / X
まず円の位置関係ですが
円C[2]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[2]
x軸
に囲まれた領域に存在します。
同様に円C[n]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[n-1]
x軸
に存在します。
もう少し具体的に文章で書けば、
円C[1]の左下でかつx軸の上側にC[2]
円C[2]の左下でかつx軸の上側にC[3]
…
円C[n-1]の左下でかつx軸の上側にC[n]
が存在することになります。

ここで(1)の結果から、C[n]の中心をA[n]とすると
A[n](a[n],(1/4)a[n]^2)
∴C[n]の半径は(1/4)a[n]^2
このことから線分A[n]A[n+1]の長さについて
(a[n]-a[n+1])^2+{(1/4)a[n]^2-(1/4)a[n+1]^2}^2={(1/4)a[n]^2+(1/4)a[n+1]^2}^2
これより
(a[n]-a[n+1])^2=(1/4){a[n]a[n+1]}^2
(1/a[n]-1/a[n+1])^2=1/4
条件からa[n+1]＜a[n]ゆえ
1/a[n]-1/a[n+1]=-1/2
∴a[n+1]=2a[n]/(a[n]+2)
No.77125 - 2021/07/31(Sat) 20:00:21
☆ Re: / ヨッシー
X さん
(1) の結果は
　ｙ＝(1/4)ｘ^2
では？

私は、1/a[n] のように分母に持ってこずに、そのまま計算しました。

x^2＋(y−1)^2＝１　をＣ0 と呼ぶことにします。
また、Ｃn の中心のｙ座標を b[n] とします。

Ｃ0 と Ｃn の関係において、
　a[n]^2＋(b[n]−1)^2＝(b[n]＋1)^2
より、
　a[n]^2＝4b[n]　・・・(i)
これは、任意の自然数ｎについて成り立ちます。よって、
　a[n+1]^2＝4b[n+1]　・・・(ii)
も成り立ちます。 ※ここまでは(1) で求めたものです

Ｃn と Ｃn+1 の関係において、
　(a[n]−a[n+1])^2＋(b[n]−b[n+1])^2＝(b[n]＋b[n+1])^2
　(a[n]−a[n+1])^2＝４b[n]b[n+1]
４倍して、
　４(a[n]−a[n+1])^2＝４b[n]・４b[n+1]
(i)(ii)を代入して
　４(a[n]−a[n+1])^2＝a[n]^2・a[n+1]^2
図より、a[n]＞a[n+1] 、および、a[n]＞０，a[n+1]＞０より
　２(a[n]−a[n+1])＝a[n]a[n+1]
a[n+1] について解くと
　a[n+1]＝2a[n]/(a[n]＋2)　・・・答え
No.77126 - 2021/07/31(Sat) 20:33:27
☆ Re: / X
＞＞ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞＞kkkさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
No.77125を直接修正しましたので再度ご覧下さい。
No.77127 - 2021/07/31(Sat) 20:49:03
☆ Re: / kkk
ありがとうございます。
また再度解き直しをしてみて
分からない所が有れば質問しますね。
No.77171 - 2021/08/01(Sun) 18:30:42