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記事No.7715に関するスレッドです
★ 4次方程式？？ / グレープ
方程式√ｌx-1ｌ＝lｘ−ｋlが異なる4つの実数解を持つとき実数の定数kのとりうる値の範囲を求めよ

両辺を二回二乗して
二次方程式の積に因数分解してみましたが
其々の判別式を＞０としても
一致する解が出てくるため
これだけでは不十分のようです。

回答解説をどうかよろしくお願いします。
No.7674 - 2009/08/29(Sat) 08:51:52
☆ Re: 4次方程式？？ / 七
ｙ＝√ｌx-1ｌ
のグラフが描けるなら
これと
ｙ＝lｘ−ｋl
のグラフが異なる4つの共有点をもつ場合を考えてはどうですか？
No.7675 - 2009/08/29(Sat) 10:02:14
☆ Re: 4次方程式？？ / angel
＞ 其々の判別式を＞０としても
＞ 一致する解が出てくるため
＞ これだけでは不十分のようです。

いえ、それだけでも実は解けます。
ただし、k=1 だけは除かなければなりません。

k=1 の場合、x=1 が一致する解になるためN.G.なのですが、k≠1 であれば、一致する解はでてきません。その理由を考えてみて下さい。
※y=x-1、y=1-x、y=(x-k)^2 のグラフを、k＞1、k＜1 それぞれで場合分けして描いてみるのも良いでしょう
No.7678 - 2009/08/29(Sat) 21:51:27
☆ Re: 4次方程式？？ / グレープ
わかりません。。
No.7704 - 2009/08/30(Sun) 19:57:39
☆ 図を描いてみましょう / angel
まず前提として。
方程式を平方した形 |x-1|=(x-k)^2 というのは、
　x-1 = (x-k)^2 または 1-x = (x-k)^2
と同値です。
ということは、グラフとしては、
　放物線 y=(x-k)^2 と直線 y=x-1
　同じ放物線と直線 y=1-x
の交点に着目することになります。
今、それぞれの方程式の判別式が正、つまりそれぞれ2実数解を持つ、という状況を考えます。

ということで、k＞1 の場合のグラフを描いてみます。
すると、放物線と y=x-1 の交点 ( 図中の青い点 ) は、x＞1 つまり 1 より右側にできています。
逆に、放物線と y=1-x の交点 ( 図中の赤い点 ) は、x＜1 つまり 1 より左側にできています。

なぜなのか? それは、放物線の位置関係からして、y＞0 の領域 ( x軸の上側 ) にしか交点ができないためです。
それぞれの直線で x軸の上側にある部分は…と考えれば良いです。

これより、交点同士が一致することはありません。 かたや1より大、かたや1より小なのですから。

ただ、k=1 の時はこの話が成立しませんので、注意してください。
あくまで、k≠1 のおかげで、x=1,k で交点ができない、という条件があるため成立しているのです。

なお、k＜1 の場合の図については、ご自分で描いて確かめてみてください。
No.7715 - 2009/08/30(Sun) 23:21:33