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記事No.77157に関するスレッドです
★ (No Subject) / りか
次の証明が分からないので、教えていただきたいです。
No.77156 - 2021/08/01(Sun) 16:23:00
☆ Re: / りか
これです
No.77157 - 2021/08/01(Sun) 16:23:35
☆ Re: / X
大学数学の範囲であれば
以下のようになります。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{e^(ikθ)-e^(-ikθ)}/{i2^(k+1)}
=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^k-1/{2e^(iθ)}^k}
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n+1]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^(k-1)-1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
((∵)k+1を改めてkと置いた)
=lim[n→∞]{1/(2i)}{{1-{{e^(iθ)}/2}^(n+1)}/{1-e^(iθ)}/2}
-{1-1/{2e^(iθ)}}^(n+1)}/{1-1/{2e^(iθ)}}}
={1/(2i)}{1/{1-{e^(iθ)}/2}-1/{1-1/{2e^(iθ)}}}
=-i{1/{2-e^(iθ)}-1/{2-1/e^(iθ)}}
=-i{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/{{2-e^(iθ)}{2-1/e^(iθ)}}
=-i{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/{5-2{e^(iθ)+1/e^(iθ)}}}
=2{{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/(2i)}/{5-4{e^(iθ)+1/e^(iθ)}/2}}
=(右辺)
No.77159 - 2021/08/01(Sun) 16:52:00
☆ Re: / りか
早速ありがとうございます。

=lim[n→∞]Σ[k=1〜n+1]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^(k-1)-1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
((∵)k+1を改めてkと置いた)
=lim[n→∞]{1/(2i)}{{1-{{e^(iθ)}/2}^(n+1)}/{1-e^(iθ)}/2}
-{1-1/{2e^(iθ)}}^(n+1)}/{1-1/{2e^(iθ)}}}

ここの部分がいまいちわからないのですが、どうすればいいのでしょうか
No.77167 - 2021/08/01(Sun) 17:49:15
☆ Re: / りか
追加ですいません。
2行目の
=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^k-1/{2e^(iθ)}^k}
の{e^(iθ)}/2はe^(2iθ)ではないのですか。
合わせてお願いいたします。、
No.77169 - 2021/08/01(Sun) 18:01:06
☆ Re: / X
＞＞No.77167について
Σ{e^(iθ)}/2}^(k-1)
と
Σ{1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
に対して、等比数列の和の公式を使っています。

＞＞No.77169について
{e^(iθ)}/2}^k
で正しいです。
オイラーの公式により
sin(kθ)={1/(2i)}{e^(ikθ)-e^(-ikθ)}
={1/(2i)}{{e^(iθ)}^k-{1/e^(iθ)}^k}
∴{sin(kθ)}/2^k={1/(2i)}[{{e^(iθ)}^k}/2^k-{{1/e^(iθ)}^k}/2^k]
={1/(2i)}[{{e^(iθ)}/2}^k-{1/{2e^(iθ)}}^k]
No.77180 - 2021/08/01(Sun) 22:22:41
☆ Re: / りか
大変理解できました。
ありがとうございました。
No.77196 - 2021/08/02(Mon) 11:29:43